Sabendo que a função demanda é
e a função custo é
, pede-se:
a) O preço que maximiza o Lucro
b) O Lucro máximo
c) O intervalo em que deve variar o preço para que o lucro não seja negativo.
d) Representar graficamente a função lucro.
a) O preço que maximiza o Lucro
b) O Lucro máximo
c) O intervalo em que deve variar o preço para que o lucro não seja negativo.
d) Representar graficamente a função lucro.
Passo 1
O enunciado dá a função demanda
(preço em função da quantidade
) e a função custo
. Queremos a função lucro
onde
é a receita. Em seguida vamos
- maximizar
para achar o preço que dá lucro máximo, - calcular esse lucro máximo,
- determinar para quais preços o lucro é não negativo,
- esboçar o gráfico de
.
Passo 2
Calculamos primeiro a receita
e em seguida o lucro
:
Passo 3
Para maximizar
, notamos que é uma parábola com coeficiente quadrático
. O vértice ocorre em
O preço correspondente é
O lucro máximo vale
Passo 4
Para achar o intervalo em que o lucro não é negativo, resolvemos
Fatorando,
, logo
. Isso dá preços
Passo 5
O gráfico de
é uma parábola voltada para baixo, com:
– vértice em ,
– interceptos no eixo em
e
(onde
),
– interseção com o eixo em
.
– vértice em
– interceptos no eixo
– interseção com o eixo
Esboço qualitativo:
L(x)
^
1 ┤ • vértice (3,5;0,25)
0 ┼─────•─────•─────> x
^
1 ┤ • vértice (3,5;0,25)
0 ┼─────•─────•─────> x
–12┤• (0,–12)
Resposta
a)
.
b) Lucro máximo .
c) Para lucro não negativo, .
d) A função lucro é
b) Lucro máximo
c) Para lucro não negativo,
d) A função lucro é
parábola invertida com vértice em
e zeros em
e
.