Sabendo que a função demanda é \mathrm{p}=10-\mathrm{x} e a função custo é \mathrm{C}=12+3 \mathrm{x}, pede-se:
a) O preço que maximiza o Lucro
b) O Lucro máximo
c) O intervalo em que deve variar o preço para que o lucro não seja negativo.
d) Representar graficamente a função lucro.

Passo 1

O enunciado dá a função demanda \mathrm{p}=10 - x (preço em função da quantidade x) e a função custo \mathrm{C}=12 + 3\,x. Queremos a função lucro
L(x)=R(x)-C(x),
onde R(x)=x\cdot \mathrm{p}(x) é a receita. Em seguida vamos
  1. maximizar L(x) para achar o preço que dá lucro máximo,
  2. calcular esse lucro máximo,
  3. determinar para quais preços o lucro é não negativo,
  4. esboçar o gráfico de L(x).

Passo 2

Calculamos primeiro a receita R(x) e em seguida o lucro L(x):
R(x)=x\,(10 - x)=10\,x - x^2,
L(x)=R(x)-C(x)=(10\,x - x^2)\;-\;(12 + 3\,x) =-x^2 + 7\,x - 12.

Passo 3

Para maximizar L(x)=-x^2+7x-12, notamos que é uma parábola com coeficiente quadrático -1<0. O vértice ocorre em
x^*=-\frac{b}{2a}=-\frac{7}{2\cdot(-1)}=3,5.
O preço correspondente é
\mathrm{p}^*=10 - x^*=10 - 3,5=6,5.
O lucro máximo vale
L(3,5)=- (3,5)^2 + 7\,(3,5) - 12 =-12,25 + 24,5 - 12=0,25.

Passo 4

Para achar o intervalo em que o lucro não é negativo, resolvemos
L(x)\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad -x^2+7x-12\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2-7x+12\le0.
Fatorando, (x-3)(x-4)\le0, logo 3\le x\le4. Isso dá preços
\mathrm{p}=10-x \quad\Longrightarrow\quad 10-4\le \mathrm{p}\le10-3 \quad\Longleftrightarrow\quad 6\le \mathrm{p}\le7.

Passo 5

O gráfico de L(x)=-x^2+7x-12 é uma parábola voltada para baixo, com:
– vértice em \bigl(3,5;\,0,25\bigr),
– interceptos no eixo x em x=3 e x=4 (onde L(x)=0),
– interseção com o eixo y em L(0)=-12.
Esboço qualitativo:
L(x)
^
1 ┤ • vértice (3,5;0,25)
0 ┼─────•─────•─────> x
034
–12┤• (0,–12)

Resposta

a) p^*=6,5.
b) Lucro máximo L_{\max}=0,25.
c) Para lucro não negativo, 6\le p\le7.
d) A função lucro é
L(x)=-x^2+7x-12,
parábola invertida com vértice em \bigl(3,5;\,0,25\bigr) e zeros em x=3 e x=4.

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