- O Custo de produção de pranchas: o custo total
(em dólares) que a Companhia Aloha tem ao fabricar
pranchas de surfe por dia é dado por
Calcular
.
(a) Qual é a taxa de variação do custo total quando o nível de produção é de dez pranchas por dia?
(b) Qual é o custo médio que a Aloha tem ao fabricar dez pranchas de surfe por dia?
(a) Qual é a taxa de variação do custo total quando o nível de produção é de dez pranchas por dia?
(b) Qual é o custo médio que a Aloha tem ao fabricar dez pranchas de surfe por dia?
Passo 1
O enunciado fornece o custo total
(em dólares) para fabricar
pranchas por dia, com
:
As perguntas são:
- Calcular
(a derivada do custo total em função de ). - (a) Qual é a taxa de variação do custo total quando
? - (b) Qual é o custo médio ao fabricar
pranchas por dia?
Passo 2
O que significa calcular
e que regra usar.
- A derivada
representa a taxa instantânea de variação do custo total em relação ao número de pranchas . Em termos práticos, é o quanto o custo total muda (em dólares) se produzir uma prancha a mais quando a produção está em pranchas por dia. A unidade é dólares por prancha. - Para derivar polinômios usamos a regra do expoente (power rule): se
então
- Regras úteis que vamos usar:
Exemplo rápido para fixar: se
então, aplicando as regras,
Passo 3
Aplicando as regras termo a termo em
- derivada de
: usar . Logo
- derivada de
: é uma constante vezes , então
- derivada de
(constante) é
Somando os resultados:
Passo 4
Interpretação de
.
A fórmula
A fórmula
diz que, para qualquer nível de produção
(no intervalo dado), a variação marginal do custo por unidade adicional é
dólares por prancha. Se
for positiva, produzir uma prancha a mais aumenta o custo total; se negativa, produzir uma prancha a mais diminui o custo total (isso pode ocorrer em modelos matemáticos, embora aqui para
veremos o sinal concreto ao substituir valores).
Passo 5
Calcular a taxa de variação quando
(parte (a)). Substituir
em
:
Interpretação: quando a produção é de
pranchas por dia, o custo total aumenta aproximadamente
ao produzir uma prancha adicional. Unidades: dólares por prancha. (Observação útil: como
é menor que o custo médio que vamos calcular em seguida, produzir uma unidade a mais tende a reduzir o custo médio — explicarei no próximo passo.)
Passo 6
Calcular o custo médio quando
(parte (b)).
Definição: o custo médio por unidade ao produzir unidades é
Definição: o custo médio por unidade ao produzir
isto é, o custo total dividido pelo número de unidades (dólares por prancha). Primeiro calculamos
:
Agora o custo médio:
Interpretação: o custo médio ao fabricar
pranchas é
por prancha. Comparação rápida com o marginal:
, então o custo de produzir uma prancha extra ($100) é menor que o custo médio atual ($213), o que indica que, ao produzir mais, o custo médio tende a diminuir (isso é um insight útil em provas).
Resposta
Custo médio ao fabricar 10 pranchas