1. O Custo de produção de pranchas: o custo total C(x) (em dólares) que a Companhia Aloha tem ao fabricar x pranchas de surfe por dia é dado por
C(x)=-10 x^{2}+300 x+130 \quad(0 \leq x \leq 15)
Calcular C^{\prime}(x).
(a) Qual é a taxa de variação do custo total quando o nível de produção é de dez pranchas por dia?
(b) Qual é o custo médio que a Aloha tem ao fabricar dez pranchas de surfe por dia?

Passo 1

O enunciado fornece o custo total C(x) (em dólares) para fabricar x pranchas por dia, com 0 \le x \le 15:
C(x) = -10 x^{2} + 300 x + 130
As perguntas são:
  • Calcular C^{\prime}(x) (a derivada do custo total em função de x).
  • (a) Qual é a taxa de variação do custo total quando x = 10?
  • (b) Qual é o custo médio ao fabricar 10 pranchas por dia?

Passo 2

O que significa calcular C'(x) e que regra usar.
  • A derivada C'(x) representa a taxa instantânea de variação do custo total em relação ao número de pranchas x. Em termos práticos, é o quanto o custo total muda (em dólares) se produzir uma prancha a mais quando a produção está em x pranchas por dia. A unidade é dólares por prancha.
  • Para derivar polinômios usamos a regra do expoente (power rule): se f(x)=x^{n} então
f'(x)=n x^{n-1}.
  • Regras úteis que vamos usar:
\text{(i) } \frac{d}{dx}\big(a\cdot x^{n}\big)=a\cdot n x^{n-1}\quad\text{(constante }a\text{ pode sair)}.
\text{(ii) } \frac{d}{dx}(\text{constante})=0.
Exemplo rápido para fixar: se f(x)=5x^{3}-2x então, aplicando as regras,
f'(x)=5\cdot 3 x^{2}-2\cdot 1 = 15 x^{2}-2.

Passo 3

Aplicando as regras termo a termo em
C(x) = -10 x^{2} + 300 x + 130,
  • derivada de -10 x^{2}: usar \frac{d}{dx}(a x^{2})=a\cdot 2x. Logo
\frac{d}{dx}\big(-10 x^{2}\big) = -10\cdot 2 x = -20 x.
  • derivada de 300 x: é uma constante vezes x, então
\frac{d}{dx}(300 x) = 300.
  • derivada de 130 (constante) é
\frac{d}{dx}(130)=0.
Somando os resultados:
C'(x) = -20 x + 300.

Passo 4

Interpretação de C'(x).
A fórmula
C'(x) = -20 x + 300
diz que, para qualquer nível de produção x (no intervalo dado), a variação marginal do custo por unidade adicional é -20x+300 dólares por prancha. Se C'(x) for positiva, produzir uma prancha a mais aumenta o custo total; se negativa, produzir uma prancha a mais diminui o custo total (isso pode ocorrer em modelos matemáticos, embora aqui para 0\le x\le15 veremos o sinal concreto ao substituir valores).

Passo 5

Calcular a taxa de variação quando x=10 (parte (a)). Substituir x=10 em C'(x):
C'(10) = -20\cdot 10 + 300 = -200 + 300 = 100.
Interpretação: quando a produção é de 10 pranchas por dia, o custo total aumenta aproximadamente \$100 ao produzir uma prancha adicional. Unidades: dólares por prancha. (Observação útil: como C'(10)=100 é menor que o custo médio que vamos calcular em seguida, produzir uma unidade a mais tende a reduzir o custo médio — explicarei no próximo passo.)

Passo 6

Calcular o custo médio quando x=10 (parte (b)).
Definição: o custo médio por unidade ao produzir x unidades é
\bar{C}(x)=\frac{C(x)}{x},
isto é, o custo total dividido pelo número de unidades (dólares por prancha). Primeiro calculamos C(10):
C(10) = -10\,(10)^{2} + 300\cdot 10 + 130 = -10\cdot 100 + 3000 + 130 = -1000 + 3000 + 130 = 2130.
Agora o custo médio:
\bar{C}(10)=\frac{C(10)}{10}=\frac{2130}{10}=213.
Interpretação: o custo médio ao fabricar 10 pranchas é \$213 por prancha. Comparação rápida com o marginal: C'(10)=100<213, então o custo de produzir uma prancha extra ($100) é menor que o custo médio atual ($213), o que indica que, ao produzir mais, o custo médio tende a diminuir (isso é um insight útil em provas).

Resposta

C'(x) = -20x + 300
C'(10) = 100 dólares por prancha
Custo médio ao fabricar 10 pranchas = 213 dólares por prancha

Exercícios relacionados