- O custo total para produzir
unidades de certo produto é
, expresso em reais. Determine quantas unidades devem ser produzidas para que o custo médio seja mínimo.
Passo 1
O enunciado dá a função custo total
e pede quantas unidades devem ser produzidas para que o custo médio seja mínimo.
Informações fornecidas:
-
, em reais. - A variável
representa o número de unidades produzidas (logo deve ser ).
O que o problema pede:
- Determinar o valor de
que minimiza o custo médio.
Passo 2
Definição e expressão do custo médio (aula rápida):
- O custo médio é o custo por unidade, ou seja, o custo total dividido pelo número de unidades produzidas.
- Matemáticamente, o custo médio
é
- Substituindo
obtemos
Agora simplificamos termo a termo (dividindo cada termo por
):
Observação: essa função está definida para
, que é o domínio fisicamente relevante (não se produz zero unidades).
Passo 3
Estratégia de minimização (mini-aula sobre derivadas):
- Para encontrar mínimos de uma função diferenciável em um intervalo aberto usamos a condição necessária: pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe.
- Aqui
é diferenciável para , então buscamos tal que . - Vamos calcular a derivada de
termo a termo: - A derivada de
é . - A derivada de
(constante) é . - A derivada de
é .
- A derivada de
- Portanto,
- Igualamos a zero para achar candidatos a mínimo:
- Isolando
:
- Inverter ambos os lados (ou resolver diretamente) para obter
:
- Calculando o quociente:
- Logo
escolhendo o sinal positivo porque
. Assim
é o ponto crítico.
Passo 4
Teste de segunda derivada (confirmação de mínimo):
- Calculamos a segunda derivada de
. A partir de , temos
- Para
essa expressão é positiva (pois e ), portanto em qualquer a segunda derivada é positiva. Em particular, em ,
- Como
, o ponto crítico é um ponto de mínimo local. Como tende a quando e cresce linearmente quando , esse mínimo local é o mínimo global em .
Passo 5
Interpretação final e cálculo do custo médio mínimo (opcional, para visualização):
- Portanto, a produção que minimiza o custo médio é
unidades. - Se quiser saber o valor do custo médio mínimo, substitui-se em
:
- Isso significa que produzindo
unidades o custo médio é de R$ por unidade.