1. O custo total para produzir x unidades de certo produto é
C(x)=0.2 x^{2}+4300 x+200000
, expresso em reais. Determine quantas unidades devem ser produzidas para que o custo médio seja mínimo.

Passo 1

O enunciado dá a função custo total C(x) e pede quantas unidades devem ser produzidas para que o custo médio seja mínimo.
Informações fornecidas:
  • C(x)=0{,}2\,x^{2}+4300\,x+200000, em reais.
  • A variável x representa o número de unidades produzidas (logo deve ser x>0).
O que o problema pede:
  • Determinar o valor de x que minimiza o custo médio.

Passo 2

Definição e expressão do custo médio (aula rápida):
  • O custo médio é o custo por unidade, ou seja, o custo total dividido pelo número de unidades produzidas.
  • Matemáticamente, o custo médio \bar C(x) é
\bar C(x)=\frac{C(x)}{x}.
  • Substituindo C(x) obtemos
\bar C(x)=\frac{0{,}2\,x^{2}+4300\,x+200000}{x}.
Agora simplificamos termo a termo (dividindo cada termo por x):
\bar C(x)=0{,}2\,x+4300+\frac{200000}{x}.
Observação: essa função está definida para x>0, que é o domínio fisicamente relevante (não se produz zero unidades).

Passo 3

Estratégia de minimização (mini-aula sobre derivadas):
  • Para encontrar mínimos de uma função diferenciável em um intervalo aberto usamos a condição necessária: pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe.
  • Aqui \bar C(x) é diferenciável para x>0, então buscamos x tal que \bar C'(x)=0.
  • Vamos calcular a derivada de \bar C(x) termo a termo:
    • A derivada de 0{,}2\,x é 0{,}2.
    • A derivada de 4300 (constante) é 0.
    • A derivada de \dfrac{200000}{x}=200000\,x^{-1} é -200000\,x^{-2}.
  • Portanto,
\bar C'(x)=0{,}2-200000\,x^{-2}.
  • Igualamos a zero para achar candidatos a mínimo:
0{,}2-200000\,x^{-2}=0.
  • Isolando x^{-2}:
200000\,x^{-2}=0{,}2 \quad\Rightarrow\quad x^{-2}=\frac{0{,}2}{200000}.
  • Inverter ambos os lados (ou resolver diretamente) para obter x^{2}:
x^{2}=\frac{200000}{0{,}2}.
  • Calculando o quociente:
\frac{200000}{0{,}2}=200000\times\frac{1}{0{,}2}=200000\times5=1000000.
  • Logo
x^{2}=1000000 \quad\Rightarrow\quad x=\sqrt{1000000}=1000,
escolhendo o sinal positivo porque x>0. Assim x=1000 é o ponto crítico.

Passo 4

Teste de segunda derivada (confirmação de mínimo):
  • Calculamos a segunda derivada de \bar C(x). A partir de \bar C'(x)=0{,}2-200000\,x^{-2}, temos
\bar C''(x)= -200000\cdot(-2)\,x^{-3}=400000\,x^{-3}.
  • Para x>0 essa expressão é positiva (pois 400000>0 e x^{-3}>0), portanto em qualquer x>0 a segunda derivada é positiva. Em particular, em x=1000,
\bar C''(1000)=400000\cdot1000^{-3}>0.
  • Como \bar C''(1000)>0, o ponto crítico x=1000 é um ponto de mínimo local. Como \bar C(x) tende a +\infty quando x\to0^{+} e cresce linearmente quando x\to\infty, esse mínimo local é o mínimo global em x>0.

Passo 5

Interpretação final e cálculo do custo médio mínimo (opcional, para visualização):
  • Portanto, a produção que minimiza o custo médio é x=1000 unidades.
  • Se quiser saber o valor do custo médio mínimo, substitui-se em \bar C(x):
\bar C(1000)=0{,}2\cdot1000+4300+\frac{200000}{1000}=200+4300+200=4700.
  • Isso significa que produzindo 1000 unidades o custo médio é de R$ 4.700 por unidade.

Resposta

1000 unidades.

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