O lucro trimestral (em milhares de dólares) da Cunninghan Realty é dado por
onde
(em milhares de dólares) é a quantidade de dinheiro que a Cunninghan gasta em publicidade por trimestre. Calcule
e responda:
Qual é a taxa de variação do lucro trimestral da Cunninghan se a quantia que ela gasta em publicidade é de
10.000 /
(x=10)
$30.000 /
(x=30)$ ?
Qual é a taxa de variação do lucro trimestral da Cunninghan se a quantia que ela gasta em publicidade é de
Passo 1
O enunciado nos dá a função lucro trimestral (em milhares de dólares)
onde
(em milhares de dólares) é o gasto em publicidade por trimestre. O que é pedido:
- Calcular
. - Avaliar a taxa de variação
quando (ou seja, gasto de ) e quando (gasto de ).
Passo 2
O que significa
?
-
é a taxa de variação instantânea do lucro em relação ao gasto com publicidade: diz quanto o lucro muda (em milhares de dólares) quando o gasto (em milhares de dólares) aumenta um pouco. - Unidade: como
e estão em “milhares de dólares”, tem unidade “milhares de dólares de lucro por milhares de dólares gastos”. Em termos práticos: se , um acréscimo de em (ou seja, mais gastos) muda o lucro em aproximadamente (ou seja, milhares de dólares = dólares). Também se pode interpretar por dólar: dividir por dá dólares de lucro por dólar gasto.
Passo 3
Relembrando regras de diferenciação que vamos usar (com linguagem prática):
- Regra do poder: se
, então . Aqui usamos com . - Regra do fator constante: se
com constante , então . - Derivada de uma soma é a soma das derivadas.
- Derivada de constante é zero.
Passo 4
Aplicando as regras termo a termo em
:
Derivada do primeiro termo:
. Pela regra do poder e do fator constante,
Derivada do segundo termo:
(porque a derivada de
é
e o 7 é constante).
Derivada do terceiro termo:
.
Somando:
Passo 5
Agora avaliamos em
. Substituindo:
Em forma decimal
(em milhares de dólares de lucro por milhares de dólares gastos). Interpretação prática: um aumento de
em publicidade (isto é,
) aumenta o lucro em aproximadamente
milhares de dólares
. Em termos por dólar: aproximadamente
de lucro adicional por cada $1 gasto.
Passo 6
Agora avaliamos em
. Substituindo:
Isso significa
(milhares de dólares de lucro por milhares de dólares gastos). Interpretação prática: um aumento de
em publicidade aumenta o lucro em cerca de
; em termos por dólar, isso corresponde a
de lucro adicional por cada $1 gasto.
Passo 7
Resumo rápido e palavra amiga: derivada encontrada é simples e mostra que a “margem” de lucro por dólar de publicidade aumenta com
(pois
cresce com
). Se estiver na prova, escreva a derivada, avalie nos pontos pedidos como fizemos e explique a unidade tal qual aqui — isso costuma ganhar ponto fácil. Força que você consegue!