O lucro trimestral (em milhares de dólares) da Cunninghan Realty é dado por
P(x)=\frac{x^{2}}{3}+7 x+30 \quad(0 \leq x \leq 50)
onde x (em milhares de dólares) é a quantidade de dinheiro que a Cunninghan gasta em publicidade por trimestre. Calcule P^{\prime}(x) e responda:
Qual é a taxa de variação do lucro trimestral da Cunninghan se a quantia que ela gasta em publicidade é de \ 10.000 / trimestre(x=10) e de$30.000 / trimestre(x=30)$ ?

Passo 1

O enunciado nos dá a função lucro trimestral (em milhares de dólares)
P(x)=\frac{x^{2}}{3}+7x+30\qquad(0\le x\le 50),
onde x (em milhares de dólares) é o gasto em publicidade por trimestre. O que é pedido:
  • Calcular P^{\prime}(x).
  • Avaliar a taxa de variação P^{\prime}(x) quando x=10 (ou seja, gasto de \$10{,}000) e quando x=30 (gasto de \$30{,}000).

Passo 2

O que significa P^{\prime}(x)?
  • P^{\prime}(x) é a taxa de variação instantânea do lucro em relação ao gasto com publicidade: diz quanto o lucro muda (em milhares de dólares) quando o gasto x (em milhares de dólares) aumenta um pouco.
  • Unidade: como P e x estão em “milhares de dólares”, P^{\prime}(x) tem unidade “milhares de dólares de lucro por milhares de dólares gastos”. Em termos práticos: se P^{\prime}(x)=a, um acréscimo de 1 em x (ou seja, mais \$1{,}000 gastos) muda o lucro em aproximadamente a (ou seja, a milhares de dólares = 1000a dólares). Também se pode interpretar por dólar: dividir por 1000 dá dólares de lucro por dólar gasto.

Passo 3

Relembrando regras de diferenciação que vamos usar (com linguagem prática):
  • Regra do poder: se f(x)=x^{n}, então f'(x)=n x^{n-1}. Aqui usamos com n=2.
  • Regra do fator constante: se f(x)=c\cdot g(x) com constante c, então f'(x)=c\cdot g'(x).
  • Derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  • Derivada de constante é zero.

Passo 4

Aplicando as regras termo a termo em P(x)=\dfrac{x^{2}}{3}+7x+30:
Derivada do primeiro termo: \dfrac{x^{2}}{3}=\left(\dfrac{1}{3}\right)x^{2}. Pela regra do poder e do fator constante,
\left(\dfrac{1}{3}x^{2}\right)'=\dfrac{1}{3}\cdot 2x=\dfrac{2}{3}x.
Derivada do segundo termo: (7x)'=7 (porque a derivada de x é 1 e o 7 é constante).
Derivada do terceiro termo: (30)'=0.
Somando:
P'(x)=\frac{2}{3}x+7.

Passo 5

Agora avaliamos em x=10. Substituindo:
P'(10)=\frac{2}{3}\cdot 10 +7 = \frac{20}{3}+7 = \frac{20+21}{3}=\frac{41}{3}.
Em forma decimal \dfrac{41}{3}\approx 13{,}666\overline{6} (em milhares de dólares de lucro por milhares de dólares gastos). Interpretação prática: um aumento de \$1{,}000 em publicidade (isto é, \Delta x=1) aumenta o lucro em aproximadamente \dfrac{41}{3} milhares de dólares =\$13{,}666{,}67. Em termos por dólar: aproximadamente \$13{,}666{,}67/1000=\$13{,}67 de lucro adicional por cada $1 gasto.

Passo 6

Agora avaliamos em x=30. Substituindo:
P'(30)=\frac{2}{3}\cdot 30 +7 = 20+7=27.
Isso significa 27 (milhares de dólares de lucro por milhares de dólares gastos). Interpretação prática: um aumento de \$1{,}000 em publicidade aumenta o lucro em cerca de \$27{,}000; em termos por dólar, isso corresponde a \$27{,}000/1000=\$27 de lucro adicional por cada $1 gasto.

Passo 7

Resumo rápido e palavra amiga: derivada encontrada é simples e mostra que a “margem” de lucro por dólar de publicidade aumenta com x (pois P'(x)=\tfrac{2}{3}x+7 cresce com x). Se estiver na prova, escreva a derivada, avalie nos pontos pedidos como fizemos e explique a unidade tal qual aqui — isso costuma ganhar ponto fácil. Força que você consegue!

Resposta

\;P'(10)=\dfrac{41}{3}\approx 13{,}666{,}67 (o que equivale a \$13{,}666{,}67 de lucro adicional por \$1{,}000 gastos; ≈ \$13{,}67 por \$1 gasto)
\;P'(30)=27 (o que equivale a \$27{,}000 de lucro adicional por \$1{,}000 gastos; \$27 por \$1 gasto)

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