A duração de certo componente tem média de 850 dias e desvio padrão de 45 dias. Calcular a probabilidade desse componente durar: (a) entre 700 e 1000 dias, (b) mais que 800 dias, © menos que 750 dias, (d) exatamente 1000 dias, (e) qual deve ser o número de dias necessários para que tenhamos de repor
dos componentes. (Repostas: (a) 1, (b) 0,8665, © 0,0132, (d) 0, (e) 776 dias).
Passo 1
Beleza, vamos lá: o exercício diz que a duração de um componente segue uma distribuição normal com média μ=850 dias e desvio padrão σ=45 dias. A gente precisa calcular várias probabilidades (entre dois valores, acima, abaixo, exatamente um ponto e encontrar o percentil de 5%). O conteúdo é Distribuição Normal e padronização. Para isso, vamos usar a fórmula
e a função de distribuição acumulada da normal padrão (tabela ou calculadora).
e a função de distribuição acumulada da normal padrão
Passo 2
Teoria básica (sem pular etapas):
- Se X∼N(μ,σ²), então a probabilidade até um valor x é
- Para um intervalo [a,b],
- Para achar um valor x que deixa uma certa área p à esquerda, usamos
Passo 3
(a) P(700≤X≤1000):
z₁=(700−850)/45=−3,333…,
z₂=(1000−850)/45=+3,333…
P=Φ(3,333)−Φ(−3,333)≈0,99957−0,00043=0,99914≈1.
z₁=(700−850)/45=−3,333…,
z₂=(1000−850)/45=+3,333…
P=Φ(3,333)−Φ(−3,333)≈0,99957−0,00043=0,99914≈1.
Passo 4
(b) P(X>800):
z=(800−850)/45=−1,111…
P(X>800)=1−Φ(−1,111)=Φ(1,111)≈0,8665.
z=(800−850)/45=−1,111…
P(X>800)=1−Φ(−1,111)=Φ(1,111)≈0,8665.
Passo 5
© P(X<750):
z=(750−850)/45=−2,222…
P=Φ(−2,222)≈0,0132.
z=(750−850)/45=−2,222…
P=Φ(−2,222)≈0,0132.
Passo 6
(d) P(X=1000):
Como X é contínua, P(X=1000)=0.
Como X é contínua, P(X=1000)=0.
Passo 7
(e) Quantos dias para repor 5% (percentil 5%)?
Queremos x₀ tal que P(X≤x₀)=0,05 ⇒ z₀=Φ⁻¹(0,05)≈−1,645.
x₀=850+45·(−1,645)=850−74,025≈775,975 ≈776 dias.
Queremos x₀ tal que P(X≤x₀)=0,05 ⇒ z₀=Φ⁻¹(0,05)≈−1,645.
x₀=850+45·(−1,645)=850−74,025≈775,975 ≈776 dias.
Resposta
(a) ≈1
(b) ≈0,8665
© ≈0,0132
(d) 0
(e) 776 dias
(b) ≈0,8665
© ≈0,0132
(d) 0
(e) 776 dias