O Custo de produzir x unidades por dia de um produto é C=\frac{x^{2}}{2}+20 x+15, e a equação de demanda é p =30-\mathrm{x}. Obtenha o preço que maximiza o Lucro.

Passo 1

O enunciado dá a função custo
C(x)=\frac{x^{2}}{2}+20x+15
e a demanda p=30 - x. Queremos o preço p que maximiza o lucro. Para isso, vamos montar a função lucro em função de x e usar derivada.

Passo 2

A receita R(x) é quantidade vezes preço, ou seja
R(x)=x\cdot p(x)=x\,(30 - x).

Passo 3

O lucro \pi(x) é receita menos custo:
\pi(x)=R(x)-C(x)=x(30 - x)-\Bigl(\tfrac{x^{2}}{2}+20x+15\Bigr).
Expandindo e agrupando termos, obtemos
\pi(x)=30x - x^{2} - \frac{x^{2}}{2} -20x -15 =10x - \frac{3}{2}x^{2}-15.

Passo 4

Para achar o máximo, igualamos a derivada a zero:
\pi'(x)=10 - 3x=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{*}=\frac{10}{3}.
Como \pi''(x)=-3<0, esse ponto é de máximo.

Passo 5

O preço ótimo é
p^{*}=30 - x^{*} =30 - \frac{10}{3} =\frac{80}{3}.

Resposta

O preço que maximiza o lucro é \tfrac{80}{3}.

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