Pesquisas mercadológicas determinaram que a quantidade x de um certo eletrodoméstico demandada por semana relacionava-se com seu preço unitário pela função
, em que
.
a) Obtenha a função Receita
b) Que preço deve ser cobrado para maximizar a receita semanal?
c) Represente graficamente a função Receita.
a) Obtenha a função Receita
b) Que preço deve ser cobrado para maximizar a receita semanal?
c) Represente graficamente a função Receita.
Passo 1
O enunciado dá a relação entre quantidade demandada
e preço unitário
por
para
. Queremos (a) a função Receita, (b) o preço que maximiza essa receita e (c) o gráfico da receita. Vamos usar que a receita é o produto do preço pela quantidade e que isso gera uma função quadrática em
.
Passo 2
A receita semanal
em função de
é preço vezes quantidade, ou seja
Desenvolvendo, obtemos
Passo 3
Para maximizar
, notamos que é uma parábola concava para baixo com coeficiente quadrático
e linear
. O vértice dessa parábola ocorre em
Verificamos que
está dentro de
. A receita máxima é
Passo 4
Para desenhar o gráfico de
:
- Os zeros de
satisfazem , ou seja e . - O vértice é
e indica o ponto de máximo. - A parábola é invertida (concava para baixo) e restrita ao domínio
. Marque no eixo horizontal de 4 a 10 e no vertical , tracando a curva passando pelos pontos , e .
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) Gráfico de uma parábola invertida com vértice em e interceptos em
e
, restringida a
.
(b)
(c) Gráfico de uma parábola invertida com vértice em