Pesquisas mercadológicas determinaram que a quantidade x de um certo eletrodoméstico demandada por semana relacionava-se com seu preço unitário pela função \mathrm{x}=1000-100 \mathrm{p}, em que 4 \leq \mathrm{p} \leq 10.
a) Obtenha a função Receita
b) Que preço deve ser cobrado para maximizar a receita semanal?
c) Represente graficamente a função Receita.

Passo 1

O enunciado dá a relação entre quantidade demandada x e preço unitário p por
x = 1000 - 100p,
para 4 \le p \le 10. Queremos (a) a função Receita, (b) o preço que maximiza essa receita e (c) o gráfico da receita. Vamos usar que a receita é o produto do preço pela quantidade e que isso gera uma função quadrática em p.

Passo 2

A receita semanal R em função de p é preço vezes quantidade, ou seja
R(p) = p \cdot x = p \cdot \bigl(1000 - 100p\bigr).
Desenvolvendo, obtemos
R(p) = 1000p - 100p^2.

Passo 3

Para maximizar R(p), notamos que é uma parábola concava para baixo com coeficiente quadrático a=-100 e linear b=1000. O vértice dessa parábola ocorre em
p_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1000}{2\cdot(-100)} = 5.
Verificamos que p_v=5 está dentro de [4,10]. A receita máxima é
R(5) = 1000\cdot5 - 100\cdot5^2 = 5000 - 2500 = 2500.

Passo 4

Para desenhar o gráfico de R(p)=1000p-100p^2:
  1. Os zeros de R satisfazem 1000p-100p^2=0, ou seja p=0 e p=10.
  2. O vértice é (5,2500) e indica o ponto de máximo.
  3. A parábola é invertida (concava para baixo) e restrita ao domínio 4\le p\le10. Marque no eixo horizontal p de 4 a 10 e no vertical R, tracando a curva passando pelos pontos (4,R(4)), (5,2500) e (10,0).

Resposta

(a) R(p)=1000p-100p^2.
(b) p=5.
(c) Gráfico de uma parábola invertida com vértice em (5,2500) e interceptos em p=0 e p=10, restringida a 4\le p\le10.

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