O Sr Ângelo é proprietário de um hotel para viajantes solitários com 40 suítes. Ele sabe que, se cobrar $$ 150,00 por diária, o hotel permanece lotado. Por outro lado, para cada \á 5,00 de aumento na diária , uma suíte permanece vazia.
a) Obtenha a função de demanda admitindo-a função de primeiro grau
b) Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita?

Passo 1

O enunciado nos dá um hotel com 40 suítes, de modo que, ao cobrar \$150 por diária, todas as suítes ficam ocupadas. Para cada aumento de \$5 na diária, exatamente uma suíte fica vazia. Aqui o conteúdo é demanda linear e maximização de receita. Vamos definir \;p= preço da diária em reais \;q= número de suítes ocupadas
e buscar primeiro a função de demanda q(p) de primeiro grau.

Passo 2

Como a demanda é linear, temos
q(p)=A - B\,p.
Sabemos que
q(150)=40 \quad\text{e}\quad q(155)=39.
Subtraindo as duas equações:
40 - 39 = \bigl(A - B\cdot150\bigr) - \bigl(A - B\cdot155\bigr) \;\Longrightarrow\; 1 = 5B \;\Longrightarrow\; B = \tfrac{1}{5} = 0{,}2.
Para achar A, use q(150)=40:
40 = A - 0{,}2\cdot150 \;\Longrightarrow\; 40 = A - 30 \;\Longrightarrow\; A = 70.
Logo a função de demanda é
q(p) = 70 - 0{,}2\,p.

Passo 3

A receita total R em função do preço p é
R(p) = p\;q(p) = p\,(70 - 0{,}2\,p) = 70\,p \;-\;0{,}2\,p^2.

Passo 4

Para maximizar R(p), derivamos e igualamos a zero:
R'(p) = 70 - 0{,}4\,p = 0 \quad\Longrightarrow\quad 0{,}4\,p = 70 \quad\Longrightarrow\quad p = \frac{70}{0{,}4} = 175.

Resposta

a) \displaystyle q(p) = 70 - 0{,}2\,p.
b) O preço que maximiza a receita é \displaystyle \text{R\$ }175{,}00.

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