Para cada função f(x), determine as derivadas de primeira ordem:
f(x)=20 x^{4}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada de primeira ordem da função f(x)=20 x^{4}.\n
Informações dadas: a única função fornecida é f(x)=20 x^{4}. Não há outras restrições ou dados.

Passo 2

Primeiro conceito importante: regra do fator constante. Ela diz que, se temos uma constante a multiplicando uma função g(x), então a derivada é a constante multiplicada pela derivada de g. Em símbolos:
\frac{d}{dx}\big(a\cdot g(x)\big)=a\cdot \frac{d}{dx}g(x).
Aqui a é um número (constante) e g(x) é uma função de x. No nosso caso, a será 20 e g(x) será x^{4}.

Passo 3

Segundo conceito importante: regra da potência (power rule). Para um expoente inteiro n, a derivada de x^{n} é
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.
Explicando: a operação de derivar mede a taxa de variação de x^{n} em relação a x. O resultado é multiplicar pelo expoente n e diminuir esse expoente em uma unidade, ficando n-1. Exemplos simples para fixar: \frac{d}{dx}x^{2}=2x, \frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}. Note que em todos os casos aplicamos a mesma regra.

Passo 4

Aplicando as duas regras à função dada. Escrevo a função como produto de uma constante por uma potência:
f(x)=20\cdot x^{4}.
Pela regra do fator constante:
f'(x)=20\cdot \frac{d}{dx}x^{4}.
Agora uso a regra da potência com n=4:
\frac{d}{dx}x^{4}=4x^{3}.
Substituindo na expressão de f'(x):
f'(x)=20\cdot 4x^{3}.
Faço a multiplicação da constante:
f'(x)=80x^{3}.

Passo 5

Resumo rápido para a prova: sempre que vir uma constante multiplicando uma potência, puxe a constante para fora da derivada e aplique a regra da potência ao x^{n}. Aqui deu 80x^{3}. Você consegue — pratique fazendo mais alguns exemplos como \frac{d}{dx}(5x^{3}) ou \frac{d}{dx}(7x^{5}) para fixar.

Resposta

f'(x)=80x^{3}

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