O custo total C da produção de um bem de determinada empresa em função da quantidade q produzida é dado por C(q)=q^3-2600 q+1000 para 0. Se a empresa vende a unidade de seu produto a R , determine: b) O lucro máximo.

Passo 1

O enunciado dá o custo C(q)=q^3-2600q+1000 e o preço de venda constante p=328. O que queremos é maximizar o lucro pi(q)=R(q)-C(q), onde R(q)=pq.

Passo 2

Vamos escrever a função lucro. A receita é R(q)=328q, então
pi(q)=R(q)-C(q)=328q-l(q^3-2600q+1000r)=-q^3+2928q-1000

Passo 3

Para achar o máximo, derivamos e igualamos a zero. A derivada é
pi'(q)=-3q^2+2928

Passo 4

Resolvendo pi'(q)=0
-3q^2+2928=0 implies q^2=976 implies q=raiz976=4raiz61approx31,24

Passo 5

Verificamos que é máximo pelo segundo derivada:
pi''(q)=-6q<0para q>0,
então em qapprox31,24 temos um pico de lucro. Agora calculamos pi(q) nesse valor:
pimax= -l(4raiz61r)^3+2928,(4raiz61)-1000 =7808raiz61-1000approx59982,43

Resposta

O lucro máximo é cerca de R$ 59 982,43.

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