Encontre a solução analítica para a Equação Diferencial abaixo onde e são constantes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução analítica de uma equação diferencial que envolve a temperatura em um intervalo de de 0 a 1 e para . Estamos lidando com uma equação da difusão de calor (ou equação de calor), que é comum em matérias de cálculo e física. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e séries de Fourier.
Aqui, representa a taxa de variação da temperatura no tempo, e representa a taxa de variação da temperatura no espaço. é uma constante que pode ser vista como uma fonte de calor constante.
Passo 3
Vamos começar assumindo que a solução T(x, t) = Ts(x) + Tt(x, t) pode ser dividida em uma parte estacionária partial (Ts + Tt)partial t = partial^2 (Ts + Tt)partial x^2 + g0 e uma parte transitória partial Ttpartial t = partial^2 Tspartial x^2 + partial^2 Ttpartial x^2 + g0 :
Substituindo isso na equação original, temos:
Como é estacionária, sua derivada em relação a é zero:
Passo 4
Para simplificar, vamos escolher partial^2 Tspartial x^2 + g0 = 0 de forma que elimine o termo constante Ts(x) = -g02 x^2 + C1 x + C2 . Assim, queremos que:
Integrando duas vezes em relação a , obtemos:
Passo 5
Aplicando as condições de contorno para Ts(0) = T0 = -g02 cdot 0 + C1 cdot 0 + C2 Rightarrow C2 = T0 :
Agora, vamos focar na parte transitória partial Ttpartial t = partial^2 Ttpartial x^2 . A equação para Tt(0, t) = 0 fica:
partial Ttpartial x|x=1 = 0
Com condições de contorno homogêneas:
Tt(x, 0) = -Ts(x) = -(-g02 x^2 + g0 x + T0) = g02 x^2 - g0 x - T0
E condição inicial:
Passo 7
Para resolver a equação de X(x) d Thetadt = X''(x) Theta(t) , usamos a separação de variáveis. Assumimos que 1Theta d Thetadt = X''X = -lambda . Substituindo na equação, obtemos:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.
Passo 8
Resolvemos as equações separadas:
Para d Thetadt + lambda Theta = 0 Rightarrow Theta(t) = A e^-lambda t :
X'' + lambda X = 0
Para X(0) = 0 :
X'(1) = 0
Com as condições de contorno:
Passo 9
A solução para Xn(x) = sin((2n-1)pi x2) depende dos valores de lambdan = ((2n-1)pi2)^2 . Para não triviais, assumimos , onde é um número inteiro positivo. Assim, as funções próprias são:
e os valores próprios são:
Passo 10
Então, a solução geral para Tt(x, t) = sumn=1^infty Bn sin((2n-1)pi x2) e^-((2n-1)pi2)^2 t é uma soma de todas essas soluções próprias:
Os coeficientes são determinados pela condição inicial.
Passo 11
Aplicamos a condição inicial para encontrar Tt(x, 0) = g02 x^2 - g0 x - T0 = sumn=1^infty Bn sin((2n-1)pi x2) :
Usamos a expansão em séries de Fourier para funções no intervalo dado. Calculando os coeficientes via integração:
Passo 12
Finalmente, a solução completa T(x, t) = Ts(x) + Tt(x, t) = -g02 x^2 + g0 x + T0 + sumn=1^infty Bn sin((2n-1)pi x2) e^-((2n-1)pi2)^2 t é a soma da parte estacionária e da parte transitória:
Resposta
A solução analítica para a equação diferencial dada é:
T(x, t) = -g02 x^2 + g0 x + T0 + sumn=1^infty Bn sin((2n-1)pi x2) e^-((2n-1)pi2)^2 t
onde os coeficientes são determinados pela expansão em séries de Fourier da condição inicial.