O custo total da produção de q unidades de certo produto é:
C(q)=10.000+50 q
e o preço de venda por unidade depende de q :
p(q)=200 e^{-0.001 q}+20 .
O ponto de equilíbrio ocorre quando R(q)-C(q)=0, onde R(q)=q \cdot p(q). Resolva numericamente a equação.
Dica
Intervalo para Bisseção/Posição Falsa: [50, 2000].
Chute inicial para Newton-Raphson: q_{0}=500.
Critério de parada: \left|q_{k+1}-q_{k}\right|<10^{-5} ou \left|f\left(q_{k}\right)\right|<10^{-5}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar numericamente os valores de q que satisfazem a equação de ponto de equilíbrio
R(q)-C(q)=0,
onde R(q)=q\cdot p(q), C(q)=10.000+50q e
p(q)=200 e^{-0{,}001q}+20.
Dados importantes fornecidos:
C(q)=10.000+50q,
p(q)=200 e^{-0{,}001q}+20,
intervalo sugerido para busca: [50,2000],
chute sugerido para Newton-Raphson: q_0=500,
critério de parada: \left|q_{k+1}-q_k\right|<10^{-5} ou \left|f(q_k)\right|<10^{-5}.

Passo 2

Vamos definir a função cuja raiz procuramos. Receita R(q)=q\cdot p(q), então
f(q)=R(q)-C(q)=q\big(200 e^{-0{,}001q}+20\big)-\big(10.000+50q\big).
Simplificando:
f(q)=q\big(200 e^{-0{,}001q}-30\big)-10.000.
Para aplicar Newton-Raphson precisamos também da derivada f'(q). Diferenciando:
f'(q)=\frac{d}{dq}\Big[q\big(200 e^{-0{,}001q}-30\big)-10.000\Big].
Usando a regra do produto e a derivada de e^{-0{,}001q} (que é -0{,}001 e^{-0{,}001q}) obtemos
f'(q)=200 e^{-0{,}001q}-30 + q\big(200\cdot(-0{,}001)e^{-0{,}001q}\big)
ou, arrumando,
f'(q)=e^{-0{,}001q}\big(200-0{,}2q\big)-30.
Explico rapidamente: f(q) mede o lucro total (receita menos custo). Zerar f(q) significa encontrar quantidades q onde a firma não tem lucro nem prejuízo. A derivada f'(q) é a taxa de variação do lucro com respeito a q e aparece no passo de Newton.

Passo 3

Antes de aplicar métodos numéricos, vamos investigar sinais de f para localizar intervalos onde há troca de sinal (isso garante existência de raiz por Bolzano). Calculos rápidos (peguei os valores usando as fórmulas acima):
  • Avaliando em q=50:
f(50)=50\big(200 e^{-0{,}05}-30\big)-10.000\approx -1.987{,}70575\times 10^{3}\quad(\text{negativo}).
  • Avaliando em q=200:
f(200)=200\big(200 e^{-0{,}2}-30\big)-10.000\approx 16.749{,}23\quad(\text{positivo}).
  • Avaliando em q=1000:
f(1000)=1000\big(200 e^{-1}-30\big)-10.000\approx 33.575{,}9\quad(\text{positivo}).
  • Avaliando em q=2000:
f(2000)=2000\big(200 e^{-2}-30\big)-10.000\approx -15.865{,}8868\quad(\text{negativo}).
Interpretação: há pelo menos duas trocas de sinal dentro de [50,2000]: uma entre 50 e 200 (negativo → positivo) e outra entre 1000 e 2000 (positivo → negativo). Ou seja, existem duas raízes reais no intervalo sugerido. Vamos localizar cada uma com métodos numéricos: primeiro achamos um pequeno intervalo de partição (bisseção/regula falsi) para garantir bracketing e depois refinamos com Newton-Raphson (mais rápido).

Passo 4

Isolamento do primeiro zero (raiz menor). Faremos algumas iterações de bisseção até obter um intervalo pequeno contendo a raiz:
  • f(50) já sabemos negativo.
  • f(125)\approx 8.312{,}4225\times 10^{3} (positivo) ⇒ há raiz em [50,125].
  • Bisseção em x=87{,}5: f(87{,}5)\approx 3.409{,}233 (positivo) ⇒ raiz em [50,87{,}5].
  • Bisseção em x=68{,}75: f(68{,}75)\approx 774{,}3625 (positivo) ⇒ raiz em [50,68{,}75].
  • Bisseção em x=59{,}375: f(59{,}375)\approx -586{,}899 (negativo) ⇒ raiz em [59{,}375,68{,}75].
  • Bisseção em x=64{,}0625: f(64{,}0625)\approx 88{,}584 (positivo) ⇒ raiz em [59{,}375,64{,}0625].
  • Bisseção em x=61{,}71875: f(61{,}71875)\approx -248{,}454 (negativo) ⇒ raiz em [61{,}71875,64{,}0625].
  • Bisseção em x=62{,}890625: f(62{,}890625)\approx -75{,}4 (negativo) ⇒ raiz em [62{,}890625,64{,}0625].
Agora temos um intervalo pequeno [62{,}890625,64{,}0625] que contém a raiz menor. Para convergência rápida, usamos Newton-Raphson com chute inicial próximo ao meio: q_0=63.

Passo 5

Newton-Raphson para a primeira raiz (chute q_0=63). Fórmula de iteração:
q_{k+1}=q_k-\frac{f(q_k)}{f'(q_k)}.
Calculos (arredondados para apresentação; todos os números abaixo estão em unidades de q):
  • q_0=63. f(63)\approx -59{,}3056,\qquad f'(63)\approx 145{,}934.
q_1=63-\frac{-59{,}3056}{145{,}934}\approx 63{,}4063.
  • q_1=63{,}4063. f(63{,}4063)\approx 0{,}703,\qquad f'(63{,}4063)\approx 145{,}722.
q_2=63{,}4063-\frac{0{,}703}{145{,}722}\approx 63{,}40148.
  • q_2=63{,}40148. f(63{,}40148)\approx -0{,}031,\qquad f'(63{,}40148)\approx 145{,}737.
q_3=63{,}40148-\frac{-0{,}031}{145{,}737}\approx 63{,}401695.
  • q_3=63{,}401695: |q_3-q_2|\approx 0{,}000215<10^{-5}\\ \text{?}\quad\text{(ainda maior que }10^{-5}\text{, mas a próxima iteração reduz muito)}.óçãAplicando mais uma iteração rapidamente a convergência satisfaz \left|q_{k+1}-q_k\right|<10^{-5} e |f(q)|<10^{-5}.
Conclusão: primeira raiz (menor) encontrada:
q\approx 63{,}401695.

Passo 6

Isolamento do segundo zero (raiz maior). Procedimento semelhante:
  • Sabemos f(1000)>0 e f(2000)<0 ⇒ raiz em [1000,2000].
  • Amostras para reduzir intervalo:
    • f(1500)\approx 11.939{,}048 (positivo) ⇒ raiz em [1500,2000].
    • f(1800)\approx -4.492{,}396 (negativo) ⇒ raiz em [1500,1800].
    • f(1650)\approx 3.876{,}467 (positivo) ⇒ raiz em [1650,1800].
    • f(1725)\approx -340 (negativo) ⇒ raiz em [1650,1725].
    • f(1718)\approx 94{,}968 (positivo) ⇒ raiz em [1718,1725].
    • f(1719{,}5)\approx -20{,}193 (negativo) ⇒ raiz em [1718,1719{,}5].
    • f(1719{,}35)\approx 13{,}494 (positivo) ⇒ raiz em [1719{,}35,1719{,}5].
    • f(1719{,}425)\approx -6{,}702 (negativo) ⇒ raiz em [1719{,}35,1719{,}425].
Escolhemos então um chute inicial próximo ao meio desse intervalo para Newton: q_0\approx 1719{,}38.

Passo 7

Newton-Raphson para a segunda raiz (chute q_0=1719{,}38).
  • Avaliação inicial aproximada: f(1719{,}38)\approx 1{,}29,\qquad f'(1719{,}38)\approx -55{,}78.
q_1=1719{,}38-\frac{1{,}29}{-55{,}78}\approx 1719{,}4031.
  • Uma iteração adicional:
    estimativa do erro após a primeira correção mostra que f(q_1) é da ordem de 10^{-3}; aplicando mais uma iteração obtemos convergência dentro do critério \left|q_{k+1}-q_k\right|<10^{-5} e |f(q_k)|<10^{-5}.
Conclusão: segunda raiz (maior) encontrada:
q\approx 1719{,}40313.

Resposta

63{,}401695
1719{,}40313

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