O custo total da produção de
unidades de certo produto é:
e o preço de venda por unidade depende de
:
O ponto de equilíbrio ocorre quando
, onde
. Resolva numericamente a equação.
Dica
Intervalo para Bisseção/Posição Falsa: [50, 2000].
Chute inicial para Newton-Raphson:
.
Critério de parada:
ou
.
Intervalo para Bisseção/Posição Falsa: [50, 2000].
Chute inicial para Newton-Raphson:
Critério de parada:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar numericamente os valores de
que satisfazem a equação de ponto de equilíbrio
onde
,
e
Dados importantes fornecidos:
intervalo sugerido para busca:
,
chute sugerido para Newton-Raphson: ,
critério de parada: ou
.
chute sugerido para Newton-Raphson:
critério de parada:
Passo 2
Vamos definir a função cuja raiz procuramos. Receita
, então
Simplificando:
Para aplicar Newton-Raphson precisamos também da derivada
. Diferenciando:
Usando a regra do produto e a derivada de
(que é
) obtemos
ou, arrumando,
Explico rapidamente:
mede o lucro total (receita menos custo). Zerar
significa encontrar quantidades
onde a firma não tem lucro nem prejuízo. A derivada
é a taxa de variação do lucro com respeito a
e aparece no passo de Newton.
Passo 3
Antes de aplicar métodos numéricos, vamos investigar sinais de
para localizar intervalos onde há troca de sinal (isso garante existência de raiz por Bolzano). Calculos rápidos (peguei os valores usando as fórmulas acima):
- Avaliando em
:
- Avaliando em
:
- Avaliando em
:
- Avaliando em
:
Interpretação: há pelo menos duas trocas de sinal dentro de
: uma entre
e
(negativo → positivo) e outra entre
e
(positivo → negativo). Ou seja, existem duas raízes reais no intervalo sugerido. Vamos localizar cada uma com métodos numéricos: primeiro achamos um pequeno intervalo de partição (bisseção/regula falsi) para garantir bracketing e depois refinamos com Newton-Raphson (mais rápido).
Passo 4
Isolamento do primeiro zero (raiz menor). Faremos algumas iterações de bisseção até obter um intervalo pequeno contendo a raiz:
-
já sabemos negativo. -
(positivo) ⇒ há raiz em . - Bisseção em
: (positivo) ⇒ raiz em . - Bisseção em
: (positivo) ⇒ raiz em . - Bisseção em
: (negativo) ⇒ raiz em . - Bisseção em
: (positivo) ⇒ raiz em . - Bisseção em
: (negativo) ⇒ raiz em . - Bisseção em
: (negativo) ⇒ raiz em .
Agora temos um intervalo pequeno
que contém a raiz menor. Para convergência rápida, usamos Newton-Raphson com chute inicial próximo ao meio:
.
Passo 5
Newton-Raphson para a primeira raiz (chute
). Fórmula de iteração:
Calculos (arredondados para apresentação; todos os números abaixo estão em unidades de
):
-
.
-
.
-
.
-
: Aplicando mais uma iteração rapidamente a convergência satisfaz e .
Conclusão: primeira raiz (menor) encontrada:
Passo 6
Isolamento do segundo zero (raiz maior). Procedimento semelhante:
- Sabemos
e ⇒ raiz em . - Amostras para reduzir intervalo:
-
(positivo) ⇒ raiz em . -
(negativo) ⇒ raiz em . -
(positivo) ⇒ raiz em . -
(negativo) ⇒ raiz em . -
(positivo) ⇒ raiz em . -
(negativo) ⇒ raiz em . -
(positivo) ⇒ raiz em . -
(negativo) ⇒ raiz em .
-
Escolhemos então um chute inicial próximo ao meio desse intervalo para Newton:
.
Passo 7
Newton-Raphson para a segunda raiz (chute
).
- Avaliação inicial aproximada:
- Uma iteração adicional:
estimativa do erro após a primeira correção mostra queé da ordem de ; aplicando mais uma iteração obtemos convergência dentro do critério e .
Conclusão: segunda raiz (maior) encontrada: