O desvio padrão da produção depende da regulagem x, e foi modelado por:
f(x)=x^{2}-5 x+4 .
Determine a regulagem x que zera o desvio.
Dica:
Intervalo para Bisseção/Posição Falsa: [0,2] ou [3,5].
Chute inicial para Newton-Raphson: x_{0}=1.5 ou x_{0}=3.5.
Critério de parada: \left|x_{k+1}-x_{k}\right|<10^{-5} ou \left|f\left(x_{k}\right)\right|<10^{-5}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2}-5x+4 e pede para determinar a regulagem x que zera o desvio, ou seja, encontrar as raízes da equação f(x)=0.
Informações fornecidas pelo enunciado:
f(x)=x^{2}-5x+4.
Dicas do enunciado:
\text{Intervalos para Bisseção/Posição Falsa: }[0,2]\text{ ou }[3,5].çãçã
\text{Chutes iniciais para Newton-Raphson: }x_{0}=1{,}5\text{ ou }x_{0}=3{,}5.
Critério de parada (um dos dois pode ser usado):
\left|x_{k+1}-x_{k}\right|<10^{-5}\quad\text{ou}\quad\left|f\left(x_{k}\right)\right|<10^{-5}.

Passo 2

Observação inicial e escolha de métodos: como f é um polinômio quadrático simples, a forma mais direta é resolver analiticamente para obter as raízes exatas (método algébrico). Além disso, para aprender os métodos numéricos sugeridos pelo enunciado, vou aplicar o método de Newton-Raphson com os chutes sugeridos e mostrar como ele converge para as raízes. Vou explicar as fórmulas usadas passo a passo.

Passo 3

Resolver analiticamente (fatoração/quadrática). Para encontrar as raízes de f(x)=x^{2}-5x+4=0 podemos tentar fatorar. Procuramos dois números que multiplicados deem 4 (termo constante) e somados dêem 5 (coeficiente de x). Esses números são 1 e 4. Logo:
x^{2}-5x+4=(x-1)(x-4).
Portanto as raízes exatas são x=1 e x=4. Isto resolve o problema de forma direta — estas são as regulagens que zeram o desvio.

Passo 4

Breve aula sobre Newton-Raphson (o que é e fórmula):
Newton-Raphson é um método iterativo para achar raízes de f(x)=0. A fórmula da iteração é
x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})},
onde f'(x) é a derivada de f. Neste caso:
f(x)=x^{2}-5x+4,\qquad f'(x)=2x-5.
A ideia é usar uma aproximação linear (a reta tangente) em x_k para estimar onde a função cruza o eixo x, obtendo x_{k+1}. O critério de parada será \left|x_{k+1}-x_k\right|<10^{-5} (ou |f(x_k)|<10^{-5}).

Passo 5

Aplicando Newton-Raphson com x_{0}=1{,}5 (para a raiz próxima de 1):
Vou calcular iterações até o critério \left|x_{k+1}-x_k\right|<10^{-5} ser satisfeito. Calculei com precisão suficiente para ver a convergência:
  • Iteração 0 → 1: x_{0}=1{,}5,\quad f(1{,}5)=1{,}5^{2}-5(1{,}5)+4=2{,}25-7{,}5+4=-1{,}25,
f'(1{,}5)=2(1{,}5)-5=3-5=-2,
x_{1}=1{,}5-\frac{-1{,}25}{-2}=1{,}5-0{,}625=0{,}875.
  • Iteração 1 → 2: x_{1}=0{,}875,\quad f(0{,}875)=0{,}875^{2}-5(0{,}875)+4=0{,}765625-4{,}375+4=0{,}390625,
f'(0{,}875)=2(0{,}875)-5=1{,}75-5=-3{,}25,
x_{2}=0{,}875-\frac{0{,}390625}{-3{,}25}=0{,}875+0{,}1201923077\approx0{,}9951923077.
  • Iteração 2 → 3: x_{2}\approx0{,}9951923077,\quad f(x_{2})\approx0{,}0144415385,
f'(x_{2})\approx2(0{,}9951923077)-5\approx-3{,}0096153846,
x_{3}=x_{2}-\frac{0{,}0144415385}{-3{,}0096153846}\approx0{,}9951923077+0{,}004799\approx0{,}9999913077.
  • Iteração 3 → 4: x_{3}\approx0{,}9999913077,\quad f(x_{3})\approx2{,}161\times10^{-5},
f'(x_{3})\approx-3{,}0000173846,
x_{4}=x_{3}-\frac{2{,}161\times10^{-5}}{-3{,}0000173846}\approx0{,}9999913077+7{,}203\times10^{-6}\approx0{,}9999985107.
Diferença |x_{4}-x_{3}|\approx7{,}2\times10^{-6}<10^{-5}. Critério satisfeito; convergência para x\approx1{,}000000. Isto confirma que a raiz é x=1.

Passo 6

Aplicando Newton-Raphson com x_{0}=3{,}5 (para a raiz próxima de 4):
Mesmo procedimento para o outro chute:
  • Iteração 0 → 1: x_{0}=3{,}5,\quad f(3{,}5)=3{,}5^{2}-5(3{,}5)+4=12{,}25-17{,}5+4=-1{,}25,
f'(3{,}5)=2(3{,}5)-5=7-5=2,
x_{1}=3{,}5-\frac{-1{,}25}{2}=3{,}5+0{,}625=4{,}125.
  • Iteração 1 → 2: x_{1}=4{,}125,\quad f(4{,}125)=0{,}390625,
f'(4{,}125)=2(4{,}125)-5=3{,}25,
x_{2}=4{,}125-\frac{0{,}390625}{3{,}25}=4{,}125-0{,}1201923077\approx4{,}0048076923.
  • Iteração 2 → 3: x_{2}\approx4{,}0048076923,\quad f(x_{2})\approx0{,}014428,
f'(x_{2})\approx3{,}0096153846,
x_{3}=x_{2}-\frac{0{,}014428}{3{,}0096153846}\approx4{,}0048076923-0{,}004799\approx4{,}0000086923.
  • Iteração 3 → 4: f(x_{3})\approx2{,}17\times10^{-5},\quad f'(x_{3})\approx3{,}000017,
x_{4}=x_{3}-\frac{2{,}17\times10^{-5}}{3{,}000017}\approx4{,}0000086923-7{,}2\times10^{-6}\approx4{,}00000149\ldots
Diferença |x_{4}-x_{3}|\approx7{,}2\times10^{-6}<10^{-5}. Critério satisfeito; convergência para x\approx4{,}000000. Isto confirma que a raiz é x=4.

Passo 7

Comentário final sobre os métodos: a fatoração/quadrática nos deu as raízes exatas e é a forma mais rápida aqui. Newton-Raphson é um método numérico que converge muito rápido (apunta para as raízes em poucas iterações quando o chute inicial não é muito ruim). A bisseção/posição falsa também funcionariam a partir dos intervalos dados [0,2] e [3,5] porque a função muda de sinal nesses intervalos; bisseção garante convergência, mas exige mais iterações (cerca de 18 iterações para precisão 10^{-5} no intervalo de tamanho 2). Para uma equação quadrática simples, sempre verifique se é fatorável antes de partir para métodos numéricos — isso economiza tempo na prova e evita trabalho desnecessário.

Resposta

x=1
x=4

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