O desvio padrão da produção depende da regulagem
, e foi modelado por:
Determine a regulagem
que zera o desvio.
Dica:
Intervalo para Bisseção/Posição Falsa:
ou
.
Chute inicial para Newton-Raphson:
ou
.
Critério de parada:
ou
.
Intervalo para Bisseção/Posição Falsa:
Chute inicial para Newton-Raphson:
Critério de parada:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a regulagem
que zera o desvio, ou seja, encontrar as raízes da equação
.
Informações fornecidas pelo enunciado:
Dicas do enunciado:
Critério de parada (um dos dois pode ser usado):
Passo 2
Observação inicial e escolha de métodos: como
é um polinômio quadrático simples, a forma mais direta é resolver analiticamente para obter as raízes exatas (método algébrico). Além disso, para aprender os métodos numéricos sugeridos pelo enunciado, vou aplicar o método de Newton-Raphson com os chutes sugeridos e mostrar como ele converge para as raízes. Vou explicar as fórmulas usadas passo a passo.
Passo 3
Resolver analiticamente (fatoração/quadrática). Para encontrar as raízes de
podemos tentar fatorar. Procuramos dois números que multiplicados deem
(termo constante) e somados dêem
(coeficiente de
). Esses números são
e
. Logo:
Portanto as raízes exatas são
e
. Isto resolve o problema de forma direta — estas são as regulagens que zeram o desvio.
Passo 4
Breve aula sobre Newton-Raphson (o que é e fórmula):
Newton-Raphson é um método iterativo para achar raízes de . A fórmula da iteração é
Newton-Raphson é um método iterativo para achar raízes de
onde
é a derivada de
. Neste caso:
A ideia é usar uma aproximação linear (a reta tangente) em
para estimar onde a função cruza o eixo
, obtendo
. O critério de parada será
(ou
).
Passo 5
Aplicando Newton-Raphson com
(para a raiz próxima de
):
Vou calcular iterações até o critério ser satisfeito. Calculei com precisão suficiente para ver a convergência:
Vou calcular iterações até o critério
- Iteração 0 → 1:
- Iteração 1 → 2:
- Iteração 2 → 3:
- Iteração 3 → 4:
Diferença
. Critério satisfeito; convergência para
. Isto confirma que a raiz é
.
Passo 6
Aplicando Newton-Raphson com
(para a raiz próxima de
):
Mesmo procedimento para o outro chute:
Mesmo procedimento para o outro chute:
- Iteração 0 → 1:
- Iteração 1 → 2:
- Iteração 2 → 3:
- Iteração 3 → 4:
Diferença
. Critério satisfeito; convergência para
. Isto confirma que a raiz é
.
Passo 7
Comentário final sobre os métodos: a fatoração/quadrática nos deu as raízes exatas e é a forma mais rápida aqui. Newton-Raphson é um método numérico que converge muito rápido (apunta para as raízes em poucas iterações quando o chute inicial não é muito ruim). A bisseção/posição falsa também funcionariam a partir dos intervalos dados
e
porque a função muda de sinal nesses intervalos; bisseção garante convergência, mas exige mais iterações (cerca de 18 iterações para precisão
no intervalo de tamanho
). Para uma equação quadrática simples, sempre verifique se é fatorável antes de partir para métodos numéricos — isso economiza tempo na prova e evita trabalho desnecessário.