O tempo médio de produção (em horas) de um lote de x peças é modelado pela equação
T(x)=10 \ln (x)
Determine o número de peças x para o qual o tempo médio de produção atinge 20 horas.
Dica
Intervalo para Bisseção/Posição Falsa: [1,20].
Chute inicial para Newton-Raphson: x_{0}=10.
Critério de parada: \left|x_{k+1}-x_{k}\right|<10^{-5} ou \left|f\left(x_{k}\right)\right|<10^{-5}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o número de peças x tal que o tempo médio de produção atinge 20 horas, dado que
T(x)=10\ln(x).
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Equação: }T(x)=10\ln(x).\\\ &\text{Queremos }T(x)=20\\ \Rightarrow\\\ 10\ln(x)=20.\\\ &\text{Dica: intervalo para bisseção/posição falsa }[1,20].\\\ &\text{Dica: chute inicial para Newton-Raphson }x_{0}=10.\\\ &\text{Critério de parada: }\left|x_{k+1}-x_{k}\right|<10^{-5}\\ \text{ou}\\ \left|f\left(x_{k}\right)\right|<10^{-5}. \end{aligned}çãçãçãé
Até aqui apenas listei o que o problema pede e os dados — não comecei a resolver.

Passo 2

Transformar o problema em encontrar a raiz de uma função. Defino a função
f(x)=10\ln(x)-20.
A busca por x com T(x)=20 equivale a buscar x>0 tal que f(x)=0.
Explicação didática: por que fazemos isso? Quando temos uma equação T(x)=20 é útil mover tudo para um lado e transformar em f(x)=0 — isso é o formato clássico para métodos numéricos de raiz (bisseção, Newton, etc.). Aqui f(x) é contínua para x>0 (porque \ln(x) é contínua em x>0).
Verificação rápida no intervalo sugerido: calculo f(1) e f(20) para confirmar que existe raiz em [1,20].
f(1)=10\ln(1)-20=10\cdot 0-20=-20<0,
f(20)=10\ln(20)-20\approx 10\cdot 2,995732274-20\approx 9,95732274>0.
Como f é contínua em [1,20] e muda de sinal, existe pelo menos uma raiz em [1,20] (Teorema do Valor Intermediário). Isso confirma que o intervalo dado é apropriado.

Passo 3

Escolha do método: vou usar o método de Newton-Raphson com chute inicial x_0=10 (a dica do enunciado). Motivo: Newton converge muito rápido quando a função é suave e o chute está razoavelmente próximo; aqui f é suave em x>0 e x_0=10 está no intervalo onde a raiz existe, então Newton é apropriado e rápido para obter a precisão pedida. (Se Newton não convergisse, usaríamos bisseção/posição falsa como alternativa segura.)

Passo 4

Derivar a fórmula iterativa de Newton e explicar cada termo.
Newton-Raphson: para f(x)=0 a iteração é
x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}.
Calculo f'(x). Como f(x)=10\ln(x)-20, temos
f'(x)=\frac{10}{x}.
Substituindo em Newton:
x_{k+1}=x_k-\frac{10\ln(x_k)-20}{10/x_k}.
Simplificando o quociente:
\frac{10\ln(x_k)-20}{10/x_k}=\big(\ln(x_k)-2\big)\,x_k.
Portanto a iteração fica numa forma simples e conveniente:
x_{k+1}=x_k-\big(\ln(x_k)-2\big)\,x_k
ou, de modo equivalente,
x_{k+1}=x_k\big(3-\ln(x_k)\big).
Explicação didática: f(x_k) mede o quanto estamos distantes de zero; f'(x_k) dá a inclinação em x_k. Dividindo, obtemos uma correção na direção da raiz; multiplicando por x_k e simplificando, obtemos uma expressão fácil de calcular.

Passo 5

Iterações do método (cálculos passo a passo). Critério de parada: uso \left|x_{k+1}-x_k\right|<10^{-5} ou \left|f(x_k)\right|<10^{-5}. Vou calcular cada iteração mostrando os valores intermediários.
Inicial: x_0=10.
Iteração 1:
\ln(10)\approx 2,302585093,
\ln(10)-2\approx 0,302585093,
x_1=10-\big(\ln(10)-2\big)\cdot 10=10-3,02585093=6,97414907.
Diferença |x_1-x_0|=|6,97414907-10|=3,02585093>10^{-5}. Continua.

Passo 6

Iteração 2:
\ln(6,97414907)\approx 1,94221716\quad(\text{aprox.}),
\ln(6,97414907)-2\approx -0,05778284,
x_2=6,97414907-\big(\ln(6,97414907)-2\big)\cdot 6,97414907 =6,97414907+0,40294995\approx 7,37709902.
Verificação: |x_2-x_1|=|7,37709902-6,97414907|=0,40294995>10^{-5}. Continua.

Passo 7

Iteração 3:
\ln(7,37709902)\approx 1,99838192\quad(\text{aprox.}),
\ln(7,37709902)-2\approx -0,00161808,
x_3=7,37709902-\big(\ln(7,37709902)-2\big)\cdot 7,37709902 =7,37709902+0,01193309\approx 7,38903211.
Verificação: |x_3-x_2|=0,01193309>10^{-5}. Continua.

Passo 8

Iteração 4:
\ln(7,38903211)\approx 1,99999674\quad(\text{aprox.}),
\ln(7,38903211)-2\approx -0,00000326,
x_4=7,38903211-\big(\ln(7,38903211)-2\big)\cdot 7,38903211 \approx 7,38903211+0,0000240\approx 7,38905615.
Verificação: |x_4-x_3|\approx 0,00002404. Ainda maior que 10^{-5} (pois 2,4\times 10^{-5}>10^{-5}), então mais uma iteração é necessária.

Passo 9

Iteração 5:
\ln(7,38905615)\approx 2,00000000\quad(\text{diferença da ordem }10^{-8}),ç
\ln(7,38905615)-2\approx \text{(cerca de) }-1{,}6\times 10^{-8},
x_5\approx 7,38905615-\big(\ln(7,38905615)-2\big)\cdot 7,38905615 \approx 7,38905615+1{,}2\times 10^{-7}\approx 7,38905627.
Verificação: |x_5-x_4|\approx 1{,}2\times 10^{-7}<10^{-5}. Portanto o critério \left|x_{k+1}-x_k\right|<10^{-5} é satisfeito e podemos parar.
Observação didática: a solução exata é x=e^{2}\approx 7,38905609893065. O método de Newton convergiu rapidamente para esse valor em poucas iterações.

Resposta

x\approx 7,389056099

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