O tempo médio de produção (em horas) de um lote de
peças é modelado pela equação
Determine o número de peças
para o qual o tempo médio de produção atinge 20 horas.
Dica
Intervalo para Bisseção/Posição Falsa:
.
Chute inicial para Newton-Raphson:
.
Critério de parada:
ou
.
Intervalo para Bisseção/Posição Falsa:
Chute inicial para Newton-Raphson:
Critério de parada:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o número de peças
tal que o tempo médio de produção atinge 20 horas, dado que
Informações relevantes fornecidas:
Até aqui apenas listei o que o problema pede e os dados — não comecei a resolver.
Passo 2
Transformar o problema em encontrar a raiz de uma função. Defino a função
A busca por
com
equivale a buscar
tal que
.
Explicação didática: por que fazemos isso? Quando temos uma equação
é útil mover tudo para um lado e transformar em
— isso é o formato clássico para métodos numéricos de raiz (bisseção, Newton, etc.). Aqui
é contínua para
(porque
é contínua em
).
Verificação rápida no intervalo sugerido: calculo
e
para confirmar que existe raiz em
.
Como
é contínua em
e muda de sinal, existe pelo menos uma raiz em
(Teorema do Valor Intermediário). Isso confirma que o intervalo dado é apropriado.
Passo 3
Escolha do método: vou usar o método de Newton-Raphson com chute inicial
(a dica do enunciado). Motivo: Newton converge muito rápido quando a função é suave e o chute está razoavelmente próximo; aqui
é suave em
e
está no intervalo onde a raiz existe, então Newton é apropriado e rápido para obter a precisão pedida. (Se Newton não convergisse, usaríamos bisseção/posição falsa como alternativa segura.)
Passo 4
Derivar a fórmula iterativa de Newton e explicar cada termo.
Newton-Raphson: para
a iteração é
Calculo
. Como
, temos
Substituindo em Newton:
Simplificando o quociente:
Portanto a iteração fica numa forma simples e conveniente:
ou, de modo equivalente,
Explicação didática:
mede o quanto estamos distantes de zero;
dá a inclinação em
. Dividindo, obtemos uma correção na direção da raiz; multiplicando por
e simplificando, obtemos uma expressão fácil de calcular.
Passo 5
Iterações do método (cálculos passo a passo). Critério de parada: uso
ou
. Vou calcular cada iteração mostrando os valores intermediários.
Inicial:
.
Iteração 1:
Diferença
. Continua.
Passo 6
Iteração 2:
Verificação:
. Continua.
Passo 7
Iteração 3:
Verificação:
. Continua.
Passo 8
Iteração 4:
Verificação:
. Ainda maior que
(pois
), então mais uma iteração é necessária.
Passo 9
Iteração 5:
Verificação:
. Portanto o critério
é satisfeito e podemos parar.
Observação didática: a solução exata é
. O método de Newton convergiu rapidamente para esse valor em poucas iterações.