- Dados
e
, as funções Receita e Custo, respectivamente, de uma empresa de camisetas, que pretende maximixar o lucro. Encontre o valor de x (ponto crítico) para a função lucro, sabendo que
e o valor do lucro máximo:
Passo 1
O enunciado dá as funções Receita e Custo:
-
. -
.
Pede-se:
- Encontrar o(s) valor(es) de
que são pontos críticos da função lucro . - Determinar o valor do lucro máximo (ou seja, o maior valor de
associado a um ponto crítico que seja máximo).
Informações relevantes listadas:
-
(foi dada a relação). - Todas as funções são polinomiais (logo deriváveis em todo
). - Não foram dadas restrições explícitas sobre
(mas, se representar quantidade produzida, normalmente se considera ; vamos identificar todos os pontos críticos e depois escolher o que fizer sentido).
Passo 2
Calcular explicitamente a função lucro
. Substituindo
e
:
Agora simplificar termo a termo (sempre organizar potências iguais):
Somando os coeficientes:
Breve explicação didática: somar polinômios significa combinar os termos com a mesma potência de
. Aqui, por exemplo, os termos em
foram
e
, que juntos dão
.
Passo 3
Para achar pontos críticos, calculamos a derivada
e resolvemos
.
Regra útil (a que vou usar): a regra do poder (power rule) diz que a derivada de
é
. Aplicando termo a termo:
Calculando cada derivada:
Logo
Passo 4
Resolver
. Temos a equação quadrática
Multiplicando por
(para ficar com coeficiente positivo no
):
Usamos a fórmula quadrática: para
,
onde
,
(notei o sinal ao comparar com a forma padrão) e
. Aqui é mais simples usar
,
,
ou, equivalentemente, usar
,
,
diretamente na fórmula. Calculando o discriminante:
Calcular passo a passo:
então
A raiz do discriminante é
. Aproximação numérica:
Agora aplicar a fórmula (com
e
):
Portanto os dois pontos críticos são
Comentário prático: geralmente, se
representa quantidade produzida, descarta-se o
negativo; ainda assim, vamos analisar a natureza de cada ponto (máximo/minimo) antes de concluir.
Passo 5
Usar o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Calcular a segunda derivada:
Avaliar em cada ponto crítico.
Para
:
Como
, isso indica um ponto de máximo local em
.
Para
:
logo
é ponto de mínimo local.
Conclusão desta etapa: o lucro atinge um máximo local em
. Se
representa quantidade e for obrigatório
, este é o candidato a máximo global entre os críticos (também seria prudente checar extremos do domínio se existissem, mas nenhum foi dado).
Passo 6
Calcular o lucro máximo substituindo
em
.
Lembre que
Substituindo
(vou mostrar as contas com precisão razoável e arredondar no final):
Cálculo (valores aproximados intermediários):
Agora os termos:
Somando:
Primeiro soma dos positivos:
Subtraindo
:
Subtraindo
:
Arredondando de forma prática (duas casas decimais):
Observação amigável: os arredondamentos intermediários podem causar uma pequena diferença na última casa decimal; o procedimento e o teste da segunda derivada garantem que este valor é o lucro máximo aproximado no ponto crítico positivo encontrado.
Passo 7
Interpretação final e incentivo: o ponto crítico relevante (quantidade que maximiza o lucro) é
unidades (se a unidade for camisetas, cerca de
camisetas, lembrando que na prática costuma-se arredondar para um inteiro e reavaliar custos fixos/integrais). O lucro máximo associado é aproximadamente
(mesma unidade monetária usada nas funções).
Vai dar tudo certo — concentre-se em decorar o passo a passo: formar
, derivar, resolver
, usar
para classificar, e por fim avaliar
no ponto de máximo. Isso é padrão em muitos exercícios de otimização.