1. Dados R(x)=1000 x-2 x^{2} e C(x)=x^{3}-59 x^{2}+315 x+2000, as funções Receita e Custo, respectivamente, de uma empresa de camisetas, que pretende maximixar o lucro. Encontre o valor de x (ponto crítico) para a função lucro, sabendo que L(x)=R(x)-C(x) e o valor do lucro máximo:

Passo 1

O enunciado dá as funções Receita e Custo:
  • R(x)=1000\,x-2\,x^{2}.
  • C(x)=x^{3}-59\,x^{2}+315\,x+2000.
Pede-se:
  • Encontrar o(s) valor(es) de x que são pontos críticos da função lucro L(x)=R(x)-C(x).
  • Determinar o valor do lucro máximo (ou seja, o maior valor de L(x) associado a um ponto crítico que seja máximo).
Informações relevantes listadas:
  • L(x)=R(x)-C(x) (foi dada a relação).
  • Todas as funções são polinomiais (logo deriváveis em todo \mathbb{R}).
  • Não foram dadas restrições explícitas sobre x (mas, se x representar quantidade produzida, normalmente se considera x\ge 0; vamos identificar todos os pontos críticos e depois escolher o que fizer sentido).

Passo 2

Calcular explicitamente a função lucro L(x). Substituindo R e C:
L(x)=R(x)-C(x)=(1000\,x-2\,x^{2})-(x^{3}-59\,x^{2}+315\,x+2000).
Agora simplificar termo a termo (sempre organizar potências iguais):
L(x)=-x^{3}+(-2\,x^{2}+59\,x^{2})+(1000\,x-315\,x)-2000.
Somando os coeficientes:
L(x)=-x^{3}+57\,x^{2}+685\,x-2000.
Breve explicação didática: somar polinômios significa combinar os termos com a mesma potência de x. Aqui, por exemplo, os termos em x^{2} foram -2\,x^{2} e +59\,x^{2}, que juntos dão +57\,x^{2}.

Passo 3

Para achar pontos críticos, calculamos a derivada L'(x) e resolvemos L'(x)=0.
Regra útil (a que vou usar): a regra do poder (power rule) diz que a derivada de a x^{n} é a n x^{n-1}. Aplicando termo a termo:
L'(x)=\frac{d}{dx}\big(-x^{3}\big)+\frac{d}{dx}\big(57\,x^{2}\big)+\frac{d}{dx}\big(685\,x\big)-\frac{d}{dx}(2000).
Calculando cada derivada:
\frac{d}{dx}\big(-x^{3}\big)=-3\,x^{2},\qquad \frac{d}{dx}\big(57\,x^{2}\big)=114\,x,\qquad \frac{d}{dx}\big(685\,x\big)=685,\qquad \frac{d}{dx}(2000)=0.
Logo
L'(x)=-3\,x^{2}+114\,x+685.

Passo 4

Resolver L'(x)=0. Temos a equação quadrática
-3\,x^{2}+114\,x+685=0.
Multiplicando por -1 (para ficar com coeficiente positivo no x^{2}):
3\,x^{2}-114\,x-685=0.
Usamos a fórmula quadrática: para a x^{2}+b x + c=0,
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a=3, b=-114 (notei o sinal ao comparar com a forma padrão) e c=-685. Aqui é mais simples usar a=3, b=-114, c=-685 ou, equivalentemente, usar a=3, b=-114, c=-685 diretamente na fórmula. Calculando o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac = (-114)^{2}-4\cdot 3\cdot(-685).
Calcular passo a passo:
(-114)^{2}=12996,
4\cdot 3\cdot(-685)=-8220,
então
\Delta=12996-(-8220)=12996+8220=21216.
A raiz do discriminante é \sqrt{21216}. Aproximação numérica:
\sqrt{21216}\approx 145{,}65713.
Agora aplicar a fórmula (com a=3 e b=-114):
x=\frac{-(-114)\pm\sqrt{21216}}{2\cdot 3}=\frac{114\pm\sqrt{21216}}{6}.
Portanto os dois pontos críticos são
x_{1}=\frac{114+\sqrt{21216}}{6}\approx\frac{114+145{,}65713}{6}\approx 43{,}27619,
x_{2}=\frac{114-\sqrt{21216}}{6}\approx\frac{114-145{,}65713}{6}\approx -5{,}27619.
Comentário prático: geralmente, se x representa quantidade produzida, descarta-se o x negativo; ainda assim, vamos analisar a natureza de cada ponto (máximo/minimo) antes de concluir.

Passo 5

Usar o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Calcular a segunda derivada:
L''(x)=\frac{d}{dx}L'(x)=\frac{d}{dx}\big(-3\,x^{2}+114\,x+685\big)=-6\,x+114.
Avaliar em cada ponto crítico.
Para x_{1}\approx 43{,}27619:
L''(43{,}27619)=-6\cdot 43{,}27619+114\approx -259{,}65714+114\approx -145{,}65714<0.
Como L''(x_{1})<0, isso indica um ponto de máximo local em x_{1}.
Para x_{2}\approx -5{,}27619:
L''(-5{,}27619)=-6\cdot(-5{,}27619)+114\approx 31{,}65714+114\approx 145{,}65714>0,
logo x_{2} é ponto de mínimo local.
Conclusão desta etapa: o lucro atinge um máximo local em x\approx 43{,}27619. Se x representa quantidade e for obrigatório x\ge 0, este é o candidato a máximo global entre os críticos (também seria prudente checar extremos do domínio se existissem, mas nenhum foi dado).

Passo 6

Calcular o lucro máximo substituindo x_{1} em L(x).
Lembre que
L(x)=-x^{3}+57\,x^{2}+685\,x-2000.
Substituindo x\approx 43{,}27619 (vou mostrar as contas com precisão razoável e arredondar no final):
Cálculo (valores aproximados intermediários):
x\approx 43{,}27619,
x^{2}\approx 1872{,}90205,
x^{3}\approx 81052{,}06281.
Agora os termos:
-x^{3}\approx -81052{,}06281,
57\,x^{2}\approx 57\cdot 1872{,}90205 \approx 106755{,}41696,
685\,x\approx 685\cdot 43{,}27619 \approx 29644{,}18933,
\text{constante } -2000.
Somando:
L(x)\approx -81052{,}06281 +106755{,}41696 +29644{,}18933 -2000.
Primeiro soma dos positivos:
106755{,}41696 +29644{,}18933 = 136399{,}60629.
Subtraindo x^{3}:
136399{,}60629 -81052{,}06281 = 55347{,}54348.
Subtraindo 2000:
L_{\max}\approx 53347{,}54348.
Arredondando de forma prática (duas casas decimais):
L_{\max}\approx 53\,347{,}54.
Observação amigável: os arredondamentos intermediários podem causar uma pequena diferença na última casa decimal; o procedimento e o teste da segunda derivada garantem que este valor é o lucro máximo aproximado no ponto crítico positivo encontrado.

Passo 7

Interpretação final e incentivo: o ponto crítico relevante (quantidade que maximiza o lucro) é x\approx 43{,}276 unidades (se a unidade for camisetas, cerca de 43 camisetas, lembrando que na prática costuma-se arredondar para um inteiro e reavaliar custos fixos/integrais). O lucro máximo associado é aproximadamente 53{,}347{,}54 (mesma unidade monetária usada nas funções).
Vai dar tudo certo — concentre-se em decorar o passo a passo: formar L(x), derivar, resolver L'(x)=0, usar L'' para classificar, e por fim avaliar L no ponto de máximo. Isso é padrão em muitos exercícios de otimização.

Resposta

\displaystyle x\approx 43{,}27619
\displaystyle L_{\max}\approx 53\,347{,}54

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