O custo total de saldar uma dívida a uma taxa de juros de
ao ano é
.
(a) Qual o significado da derivada
? Quais são suas unidades?
(b) O que significa a afirmativa
?
(c)
é sempre positiva ou muda de sinal?
(a) Qual o significado da derivada
(b) O que significa a afirmativa
(c)
Passo 1
O enunciado define a função
, onde
é a taxa de juros (em
ao ano) e
é o custo total para saldar a dívida. A derivada
mede como muda o custo
quando alteramos ligeiramente a taxa
.
Passo 2
A derivada
representa a taxa de variação instantânea do custo em relação à taxa de juros. Em outras palavras, dá o aumento (ou diminuição) do custo total
quando a taxa
aumenta de uma unidade (de
). As unidades de
são “unidades de custo por ponto percentual de taxa”. Por exemplo, se
estiver em reais, então
Passo 3
A afirmativa
significa que, quando a taxa de juros é
, um aumento infinitesimal de
na taxa eleva o custo total em aproximadamente
reais. Mais precisamente, se
passar de
para
, o custo cresce em cerca de
Passo 4
Como aumentar a taxa de juros faz o custo de saldar a dívida crescer,
é função estritamente crescente em
. Logo, sua derivada
é sempre positiva para todas as taxas relevantes.
Resposta
(a)
é a variação do custo total por ponto percentual de juros; unidades em (moeda) por ponto percentual.
(b) Se , então, em
, cada aumento de
na taxa eleva o custo em cerca de
reais.
(c) para todo
, pois o custo cresce conforme a taxa de juros aumenta.
(b) Se
(c)