O custo total de saldar uma dívida a uma taxa de juros de r \% ao ano é C=f(r).
(a) Qual o significado da derivada f^{\prime}(r) ? Quais são suas unidades?
(b) O que significa a afirmativa f^{\prime}(10)=1200 ?
(c) f^{\prime}(r) é sempre positiva ou muda de sinal?

Passo 1

O enunciado define a função C = f(r), onde r é a taxa de juros (em \% ao ano) e C é o custo total para saldar a dívida. A derivada f'(r) mede como muda o custo C quando alteramos ligeiramente a taxa r.

Passo 2

A derivada f'(r) representa a taxa de variação instantânea do custo em relação à taxa de juros. Em outras palavras, dá o aumento (ou diminuição) do custo total C quando a taxa r aumenta de uma unidade (de 1\%). As unidades de f'(r) são “unidades de custo por ponto percentual de taxa”. Por exemplo, se C estiver em reais, então
\text{unidade de }f'(r) = \text{reais por ponto percentual}.

Passo 3

A afirmativa f'(10)=1200 significa que, quando a taxa de juros é 10\%, um aumento infinitesimal de 1\% na taxa eleva o custo total em aproximadamente 1200 reais. Mais precisamente, se r passar de 10\% para 11\%, o custo cresce em cerca de
\Delta C \approx f'(10)\,\Delta r = 1200 \times 1 = 1200\text{ reais}.

Passo 4

Como aumentar a taxa de juros faz o custo de saldar a dívida crescer, f(r) é função estritamente crescente em r. Logo, sua derivada f'(r) é sempre positiva para todas as taxas relevantes.

Resposta

(a) f'(r) é a variação do custo total por ponto percentual de juros; unidades em (moeda) por ponto percentual.
(b) Se f'(10)=1200, então, em r=10\%, cada aumento de 1\% na taxa eleva o custo em cerca de 1200 reais.
(c) f'(r)>0 para todo r, pois o custo cresce conforme a taxa de juros aumenta.

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