Encontre equações da reta tangente à curva
y=\frac{2}{1-3 x}

Passo 1

Temos a curva
y = \frac{2}{1 - 3x}
e queremos a equação da reta tangente em um ponto genérico x=a. Para isso vamos precisar de duas coisas:
  1. O coeficiente angular da tangente, que é a derivada y' = f'(x).
  2. A forma ponto‐inclinação da reta:
y - f(a) = f'(a)\,(x - a).

Passo 2

Calculemos a derivada de
f(x)=\frac{2}{1-3x}.
Usando a regra do quociente (ou reescrevendo como 2\,(1-3x)^{-1} e aplicando a regra da cadeia), obtemos
f'(x) =\frac{0\cdot(1-3x)-2\cdot(-3)}{(1-3x)^{2}} =\frac{6}{(1-3x)^{2}}.

Passo 3

Em x=a, o ponto é \bigl(a,\;f(a)\bigr)=\Bigl(a,\;\frac{2}{1-3a}\Bigr) e o coeficiente angular é
f'(a)=\frac{6}{(1-3a)^{2}}.
Logo, a reta tangente em x=a vem de
y - \frac{2}{1-3a} =\frac{6}{(1-3a)^{2}}\,(x - a).

Resposta

A família de retas tangentes à curva é, para todo a\neq\tfrac13,
\boxed{y - \frac{2}{1-3a} =\frac{6}{(1-3a)^{2}}\,(x - a).}

Exercícios relacionados