Os custos de fabricação, em reais, de dez objetos são os seguintes:
9,35, \quad 9,46, \quad 9,20, \quad 9,80, \quad 9,77, \quad 9,00, \quad 9,99, \quad 9,36, \quad 9,50,9,60
Se o preço de venda de cada objeto for 3 vezes seu custo de fabricação inferior a 5 reais, calcule a utilidade média por objeto.

Passo 1

O enunciado fornece os custos de fabricação de dez objetos e pede a utilidade média por objeto. As informações dadas são:
\text{Custos: }9,35,\;9,46,\;9,20,\;9,80,\;9,77,\;9,00,\;9,99,\;9,36,\;9,50,\;9,60.
O enunciado também afirma que o preço de venda de cada objeto é 3 vezes seu custo de fabricação. A pergunta é: qual é a utilidade (lucro) média por objeto?

Passo 2

Vamos entender o que é “utilidade (lucro) por objeto” e como calcular a média.
  • Para um objeto com custo de fabricação c, se o preço de venda for 3 vezes o custo, então o preço de venda é 3c.
  • O lucro por esse objeto é preço de venda menos custo, ou seja:
\text{lucro por objeto} = 3c - c = 2c.
Isto significa que o lucro de cada objeto é o dobro do seu custo de fabricação.
Agora sobre média aritmética: dada uma coleção de n valores x_1,x_2,\dots,x_n, a média aritmética é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aplicando isso aos lucros 2c_i (onde c_i são os custos), a média dos lucros é
\overline{\text{lucro}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n 2c_i = 2\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n c_i = 2\cdot\overline{c}.
Ou seja: a utilidade média por objeto é duas vezes o custo médio por objeto. (Isto usa a linearidade da soma: podemos tirar o fator 2 para fora.)

Passo 3

Agora calculamos o custo médio \overline{c}. Primeiro somamos os dez custos (vou agrupar em pares para facilitar as contas sem calculadora):
\begin{aligned} 9,35+9,46&=18,81,\\\\ 9,20+9,80&=19,00,\\\\ 9,77+9,00&=18,77,\\\\ 9,99+9,36&=19,35,\\\\ 9,50+9,60&=19,10. \end{aligned}
Somando esses resultados:
18,81+19,00+18,77+19,35+19,10 = 95,03.
Portanto a soma total dos custos é 95,03.
A média dos custos é
\overline{c}=\frac{95,03}{10}=9,503.

Passo 4

Como vimos no Passo 2, a utilidade média por objeto é 2 vezes a média dos custos:
\overline{\text{lucro}}=2\cdot\overline{c}=2\cdot 9,503 = 19,006.
Arredondando para centavos (duas casas decimais), a utilidade média por objeto é 19,01 reais, pois 19,006 arredonda para 19,01.

Resposta

R\$\,19,01

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