Considerando que a produção cresceu
do primeiro para o segundo ano, aumentou
do segundo para o terceiro ano e diminuiu
do terceiro para o quarto ano, calcule a taxa média de crescimento dos últimos três anos.
Passo 1
O enunciado dá as variações anuais da produção em porcentagem e pede a taxa média de crescimento dos últimos três anos. Dados fornecidos (peguei as porcentagens diretamente do enunciado):
- Crescimento do 1.º para o 2.º ano:
. - Crescimento do 2.º para o 3.º ano:
. - Variação do 3.º para o 4.º ano:
(diminuiu ).
O que se pede: a taxa média anual de crescimento ao longo desse período de três anos (do 1.º ao 4.º ano), ou seja, a taxa anual
tal que, aplicando-a por três anos, se obtém o mesmo fator total de variação observado.
Passo 2
Transformar porcentagens em fatores multiplicativos. Explicação didática: quando uma quantidade cresce
, ela é multiplicada por
; quando diminui
, é multiplicada por
. Esses fatores se multiplicam ao longo dos anos porque cada ano parte da quantidade resultante do ano anterior. Definições e notação:
- Seja
o fator de crescimento do 1.º para o 2.º ano, do 2.º para o 3.º ano e do 3.º para o 4.º ano. - Convertendo:
Aqui usei vírgula decimal (como pedido).
Passo 3
Calcular o fator total de variação em três anos multiplicando os fatores anuais. Vou mostrar a multiplicação passo a passo:
Primeiro multiplico por
:
Primeiro multiplico
Agora multiplico esse resultado por
:
Portanto o fator total em três anos é
Interpretação: ao final dos três anos a produção ficou
vezes a produção inicial (um aumento total de aproximadamente
).
Passo 4
Definir a taxa média anual
. Como o crescimento é composto, a taxa média anual é a taxa
que satisfaz
Isso porque aplicar uma taxa
por três anos dá um fator
elevado a
. Logo
e
Explicação: isso é a média geométrica das taxas multiplicativas; é a forma correta quando variações são multiplicativas ano a ano.
Passo 5
Calcular a raiz cúbica de
por aproximação manual (sem calculadora), mostrando passos: tentamos valores próximos para
.
Avaliação de tentativas:
Avaliação de tentativas:
O valor
está entre esses dois cubos, mais próximo de
. Fazendo interpolação linear entre os dois pontos: a diferença entre os cubos é aproximadamente
e a diferença entre
e
é
. A fração é cerca de
, então acrescentamos aproximadamente
ao
. Assim obtemos
Portanto
Convertendo para porcentagem:
Arredondando de forma prática para uso em prova, podemos dar
.
Passo 6
Interpretação final e dica para a prova: a taxa média anual
significa que, se a produção tivesse aumentado exatamente
todo ano durante 3 anos, o efeito total seria o mesmo que os aumentos de
,
e a queda de
combinados. Em provas, procurar sempre transformar porcentagens em fatores e usar a média geométrica (raízes) quando as variações se multiplicam ano a ano.