Considerando que a produção cresceu 30 \% do primeiro para o segundo ano, aumentou 35 \% do segundo para o terceiro ano e diminuiu 15 \% do terceiro para o quarto ano, calcule a taxa média de crescimento dos últimos três anos.

Passo 1

O enunciado dá as variações anuais da produção em porcentagem e pede a taxa média de crescimento dos últimos três anos. Dados fornecidos (peguei as porcentagens diretamente do enunciado):
  • Crescimento do 1.º para o 2.º ano: 30\%.
  • Crescimento do 2.º para o 3.º ano: 35\%.
  • Variação do 3.º para o 4.º ano: -15\% (diminuiu 15\%).
O que se pede: a taxa média anual de crescimento ao longo desse período de três anos (do 1.º ao 4.º ano), ou seja, a taxa anual r tal que, aplicando-a por três anos, se obtém o mesmo fator total de variação observado.

Passo 2

Transformar porcentagens em fatores multiplicativos. Explicação didática: quando uma quantidade cresce x\%, ela é multiplicada por 1+x/100; quando diminui y\%, é multiplicada por 1-y/100. Esses fatores se multiplicam ao longo dos anos porque cada ano parte da quantidade resultante do ano anterior. Definições e notação:
  • Seja f_1 o fator de crescimento do 1.º para o 2.º ano, f_2 do 2.º para o 3.º ano e f_3 do 3.º para o 4.º ano.
  • Convertendo: f_1 = 1,30,\qquad f_2 = 1,35,\qquad f_3 = 0,85.
Aqui usei vírgula decimal (como pedido).

Passo 3

Calcular o fator total de variação em três anos multiplicando os fatores anuais. Vou mostrar a multiplicação passo a passo:
Primeiro multiplico f_1 por f_2:
1,30 \times 1,35 = 1,755.
Agora multiplico esse resultado por f_3:
1,755 \times 0,85 = 1,49175.
Portanto o fator total em três anos é
F = 1,49175.
Interpretação: ao final dos três anos a produção ficou 1,49175 vezes a produção inicial (um aumento total de aproximadamente 49,175\%).

Passo 4

Definir a taxa média anual r. Como o crescimento é composto, a taxa média anual é a taxa r que satisfaz
(1+r)^3 = F.
Isso porque aplicar uma taxa r por três anos dá um fator (1+r) elevado a 3. Logo
1+r = F^{1/3}
e
r = F^{1/3} - 1.
Explicação: isso é a média geométrica das taxas multiplicativas; é a forma correta quando variações são multiplicativas ano a ano.

Passo 5

Calcular a raiz cúbica de F=1,49175 por aproximação manual (sem calculadora), mostrando passos: tentamos valores próximos para 1+r.
Avaliação de tentativas:
1,142^3 = 1,4884417\quad\text{(calculei \(1,142^2=1,303364\) e multipliquei por \(1,142\))},
1,143^3 = 1,4932712\quad\text{(calculei \(1,143^2=1,306449\) e multipliquei por \(1,143\))}.
O valor F=1,49175 está entre esses dois cubos, mais próximo de 1,143^3. Fazendo interpolação linear entre os dois pontos: a diferença entre os cubos é aproximadamente 0,0048295 e a diferença entre F e 1,142^3 é 0,0033083. A fração é cerca de 0,685, então acrescentamos aproximadamente 0,000685 ao 1,142. Assim obtemos
1+r \approx 1,142685.
Portanto
r \approx 0,142685.
Convertendo para porcentagem:
r \approx 14,2685\%.
Arredondando de forma prática para uso em prova, podemos dar r \approx 14,27\%.

Passo 6

Interpretação final e dica para a prova: a taxa média anual \approx 14,27\% significa que, se a produção tivesse aumentado exatamente 14,27\% todo ano durante 3 anos, o efeito total seria o mesmo que os aumentos de 30\%, 35\% e a queda de 15\% combinados. Em provas, procurar sempre transformar porcentagens em fatores e usar a média geométrica (raízes) quando as variações se multiplicam ano a ano.

Resposta

\approx 14,27\%

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