Kerepakupai Meru, ou Cachoeira Angel, é a cachoeira mais alta do mundo. Como a cachoeira é tão alta, 979 metros, quando a água atinge o cânion abaixo, ela já se vaporizou em uma gigantesca nuvem de névoa. Suponha que a tabela a seguir liste a altura total, em metros, de várias cachoeiras do mundo.
693 745 631 635 625 629 739 738 732 725
720 719 715 715 707 707 706 705 700 680
674 671 671 665 660 660 650 646 645 640
640 638 620 620 612 610 610 610 610 610
610 610 610 610 610 600 600 600 651 727
Construa um diagrama de ramo e folhas e box-plot para esses dados.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) construir um diagrama de ramo e folhas (stem-and-leaf) para os dados e (2) construir o box-plot desses mesmos dados. Os dados fornecidos são (copiados do enunciado):
693,\;745,\;631,\;635,\;625,\;629,\;739,\;738,\;732,\;725,\\\\ 720,\;719,\;715,\;715,\;707,\;707,\;706,\;705,\;700,\;680,\\\\ 674,\;671,\;671,\;665,\;660,\;660,\;650,\;646,\;645,\;640,\\\\ 640,\;638,\;620,\;620,\;612,\;610,\;610,\;610,\;610,\;610,\\\\ 610,\;610,\;610,\;610,\;610,\;600,\;600,\;600,\;651,\;727
Informações relevantes extraídas: há 50 observações; os valores variam de 600 a 745. A resolução começa organizando e ordenando os dados para construir os gráficos.

Passo 2

Ordenar os dados em ordem crescente (você sempre começa assim para stem-and-leaf e box-plot). A lista ordenada é:
600,\;600,\;600,\;610,\;610,\;610,\;610,\;610,\;610,\;610,\;610,\;610,\;610,\\\\ 612,\;620,\;620,\;625,\;629,\;631,\;635,\;638,\;640,\;640,\;645,\;646,\;650,\\\\ 651,\;660,\;660,\;665,\;671,\;671,\;674,\;680,\;693,\;700,\;705,\;706,\;707,\\\\ 707,\;715,\;715,\;719,\;720,\;725,\;727,\;732,\;738,\;739,\;745
Explicação rápida do que fiz: peguei cada número e coloquei do menor para o maior. Isso facilita o cálculo de mediana/quartis e a montagem do stem-and-leaf.

Passo 3

Construir o diagrama de ramo e folhas (stem-and-leaf). Vou usar como “ramo” as dezenas e centenas juntas (isto é, 60 representa 600 609, 61 representa 610 619, etc.) e como “folhas” o algarismo das unidades. Para cada valor escrito: exemplo 693 -> ramo 69, folha 3. As folhas são listadas em ordem crescente em cada ramo.
Diagrama de ramo e folhas:
\begin{array}{r|l} \text{Ramo} & \text{Folhas} \\\ \hline 60 & 0\;0\;0 \\\\ 61 & 0\;0\;0\;0\;0\;0\;0\;0\;0\;0\;2 \\\\ 62 & 0\;0\;5\;9 \\\\ 63 & 1\;5\;8 \\\\ 64 & 0\;0\;5\;6 \\\\ 65 & 0\;1 \\\\ 66 & 0\;0\;5 \\\\ 67 & 1\;1\;4 \\\\ 68 & 0 \\\\ 69 & 3 \\\\ 70 & 0\;5\;6\;7\;7 \\\\ 71 & 5\;5\;9 \\\\ 72 & 0\;5\;7 \\\\ 73 & 2\;8\;9 \\\\ 74 & 5 \end{array}
Interpretação: por exemplo, a linha 61\;|\;0\;0\;0\;0\;0\;0\;0\;0\;0\;0\;2 significa que existem dez observações iguais a 610 (folhas 0 repetidas 10 vezes) e uma observação 612 (folha 2).

Passo 4

Agora vamos construir o box-plot — passo a passo didático para calcular quartis e mediana.
  1. Número de observações: n=50 (par).
  2. Mediana ( Q_2): para n par, a mediana é a média dos valores nas posições n/2 e n/2+1, isto é posições 25 e 26 na lista ordenada. Da lista ordenada: posição 25 = 646 e posição 26 = 650. Então
Q_2=\text{mediana}=\frac{646+650}{2}=648.
Explicação do conceito: a mediana é o valor que divide os dados em duas metades iguais.
  1. Primeiro quartil ( Q_1): é a mediana da metade inferior. Como n é par, a metade inferior são as primeiras 25 observações (posições 1 a 25); essa metade tem tamanho ímpar 25, então seu elemento central é a posição 13 dentro da metade inferior, correspondente à posição 13 na lista completa. A posição 13 da lista ordenada é 610. Logo
Q_1 = 610.
  1. Terceiro quartil ( Q_3): é a mediana da metade superior (posições 26 a 50); essa metade também tem 25 observações, então seu elemento central é a 13ª da metade superior, que é a posição 38 da lista completa. A posição 38 é 706. Logo
Q_3 = 706.

Passo 5

Calcular IQR e verificar outliers (útil para o box-plot e para decidir os “bigodes”/whiskers).
  1. Intervalo interquartílico:
\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1=706-610=96.
  1. Limites para detectar outliers (regra clássica 1,5\times\mathrm{IQR}):
\text{Limite inferior}=Q_1-1{,}5\cdot\mathrm{IQR}=610-1{,}5\cdot96=610-144=466.
\text{Limite superior}=Q_3+1{,}5\cdot\mathrm{IQR}=706+144=850.
Como todos os dados estão entre 600 e 745, nenhum valor fica fora desses limites; portanto, não há outliers segundo essa regra.
  1. Definir “bigodes” do box-plot: como não há outliers, os bigodes vão do mínimo ao máximo observados:
\text{mínimo}=600,\qquad \text{máximo}=745.íá
Resumo numérico final (five-number summary):
\text{mín}=600,\; Q_1=610,\; Q_2(\text{mediana})=648,\; Q_3=706,\; \text{máx}=745.íá

Passo 6

Como desenhar o box-plot à mão (passos práticos para a prova):
  • Numere o eixo horizontal cobrindo pelo menos de 600 a 750.
  • Trace um retângulo (a “caixa”) com bordas em Q_1=610 e Q_3=706.
  • Marque a mediana Q_2=648 dentro da caixa.
  • Desenhe os bigodes (linhas) saindo da caixa até o mínimo 600 e até o máximo 745.
  • Como não há outliers, não desenhe pontos isolados.

Resposta

Diagrama de ramo e folhas:
\begin{array}{r|l} 60 & 0\;0\;0 \\\\ 61 & 0\;0\;0\;0\;0\;0\;0\;0\;0\;0\;2 \\\\ 62 & 0\;0\;5\;9 \\\\ 63 & 1\;5\;8 \\\\ 64 & 0\;0\;5\;6 \\\\ 65 & 0\;1 \\\\ 66 & 0\;0\;5 \\\\ 67 & 1\;1\;4 \\\\ 68 & 0 \\\\ 69 & 3 \\\\ 70 & 0\;5\;6\;7\;7 \\\\ 71 & 5\;5\;9 \\\\ 72 & 0\;5\;7 \\\\ 73 & 2\;8\;9 \\\\ 74 & 5 \end{array}
Box-plot (resumo numérico): \min=600,\;Q_1=610,\;Q_2=648,\;Q_3=706,\;\max=745. IQR =96. Sem outliers (limites: inferior 466, superior 850); caixa de 610 a 706, mediana em 648, bigodes de 600 a 745.

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