Nos itens abaixo, encontre a solução geral da EDO.
y^prime+y^2x^2=yx

Passo 1

Neste exercício, temos a EDO de primeira ordem y' + y^2x^2 = yx. O conteúdo é resolução de EDO não linear de primeiro grau, mas que pode ser reduzida a uma equação separável via substituição de variável.

Passo 2

Fazemos a substituição y(x) = u(x),x. Pela regra do produto, a derivada fica y' = u + x,u'.

Passo 3

Substituindo em y' + y^2x^2 = yx e usando y^2x^2=u^2 e yx=u, obtemos
u + x,u' + u^2 = u
que simplifica para
x,u' + u^2 = 0 .

Passo 4

A equação x,u' + u^2 = 0 é separável. Reescrevemos:
duu^2 = -dxx
Integrando ambos os lados:
integral duu^2 = integral -dxx
-1u = -ln|x| + C

Passo 5

Isolando u e voltando a y = x,u, temos:
1u = ln|x| + C1
u(x) = 1ln|x| + C1,
y(x) = x,u(x) = xln|x| + C1

Resposta

y(x) = dfracxln|x| + C

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