Se d=a+b+(-c), a+(-d)=c+(-b)?

Passo 1

O enunciado diz: “Se , será que ?”
Conteúdo: operações com vetores (adição, subtração e inverso).
O que precisamos: saber que
  1. subtrair um vetor é adicionar seu inverso: ,
  2. distribuir o sinal de menos em somas,
  3. usar associatividade e comutatividade na soma de vetores.

Passo 2

Começamos escrevendo o lado esquerdo e substituindo vec a + (-vec d) = vec a - vec d = vec a - l(vec a + vec b + (-vec c)r) :
Aqui usei que e troquei pela soma dada.

Passo 3

Agora “distribuo” o menos sobre cada termo dentro do parêntese, lembrando que
vec a - l(vec a + vec b + (-vec c)r) = vec a + l(-vec ar) + l(-vec br) + l(-(-vec c)r) :
E note que .

Passo 4

Agora junte termos pareados e use a comutatividade:
vec a + (-vec a) + (-vec b) + vec c = underbracevec a + (-vec a)=vec 0 + (-vec b) + vec c = vec 0 + (-vec b) + vec c = (-vec b) + vec c
Pela comutatividade, .

Resposta

Sim! De fato
vec a + (-vec d) ;=; vec c + (-vec b)

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