A soma dos módulos de dois vetores pode ser igual ao módulo da soma dos mesmos vetores? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A pergunta é: “A soma dos módulos de dois vetores pode ser igual ao módulo da soma dos mesmos vetores? Justifique sua resposta.” Aqui, estamos lidando com vetores e seus módulos (que é basicamente o comprimento ou tamanho do vetor). Para resolver isso, vamos precisar entender como somar vetores e calcular seus módulos, além de saber usar o conceito de ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o módulo de um vetor. Se temos um vetor A, o módulo é representado por |A| e é a sua “tamanho”. Por exemplo, se A tem componentes (a₁, a₂), então |A| = √(a₁² + a₂²).

Passo 3

Agora, quando somamos dois vetores A e B, o vetor resultante é A + B. O módulo dessa soma, |A + B|, não é simplesmente |A| + |B| a menos que os vetores estejam alinhados na mesma direção.

Passo 4

Vamos explorar quando |A| + |B| = |A + B|. Isso acontece se e somente se os vetores A e B forem paralelos e tiverem a mesma direção. Nesse caso, a soma dos módulos é igual ao módulo da soma porque eles estão “apontando na mesma direção”, então não há “desvio” que diminuiria o módulo da soma.

Passo 5

Para justificar isso matematicamente, usamos a fórmula do módulo da soma de dois vetores:
|A + B| = raiz|A|² + |B|² + 2|A||B|cos(theta) ²²
Onde theta é o ângulo entre A e B. Se queremos que |A + B| seja igual a |A| + |B|, então:
|A| + |B| = raiz|A|² + |B|² + 2|A||B|cos(theta) ²²
Elevando ambos os lados ao quadrado:
(|A| + |B|)^2 = |A|² + |B|² + 2|A||B|cos(theta) ²²
Expandindo o lado esquerdo:
|A|² + 2|A||B| + |B|² = |A|² + |B|² + 2|A||B|cos(theta) ²²²²
Simplificando:
2|A||B| = 2|A||B|cos(theta)
Dividindo ambos os lados por 2|A||B| (assumindo que |A| e |B| são diferentes de zero):
1 = cos(theta)
Isso só é verdadeiro quando theta = 0 graus, ou seja, quando os vetores estão na mesma direção.

Resposta

Sim, a soma dos módulos de dois vetores é igual ao módulo da soma dos mesmos vetores quando eles são paralelos e têm a mesma direção.

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