Se d=a+b+(-c) é verdade que (a) a+(-d)=c+(-b); (b) a=(-b)+d+c; © c+(-d)=a+b ?

Passo 1

A questão dá a relação vec d = vec a + vec b - vec c e pede para checar se as igualdades em (a), (b) e © são verdadeiras. O conteúdo aqui é manipulação de soma e vetor oposto, usando associatividade e comutatividade de vetores.

Passo 2

Para (a), calculamos vec a + (-vec d). Como $ -\vec d = -(\vec a + \vec b - \vec c) = -\vec a - \vec b + \vec c$, temos: -vec d = -(vec a + vec b - vec c) = -vec a - vec b + vec c. Logo, (a) é verdadeira.

Passo 3

Em (b), montamos (-vec b) + vec d + vec c. Substituindo vec d: (-vec b) + (vec a + vec b - vec c) + vec c = -vec b + vec a + vec b - vec c + vec c = vec a. Assim, (b) também é verdadeira.

Passo 4

Para ©, avaliamos vec c + (-vec d). De novo -vec d = -vec a - vec b + vec c, então vec c + (-vec d) = vec c - vec a - vec b + vec c = 2vec c - vec a - vec b. Isso só é igual a vec a + vec b se 2vec c = 2vec a + 2vec b, o que não vale em geral. Logo, © é falsa.

Resposta

a) verdadeira; b) verdadeira; c) falsa.

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