Um pião gira a
30 rev / s
em torno de um eixo que faz um ângulo de
30^circ com
a vertical. A massa do pião é
0,5 kg
, seu momento de inércia em relação ao eixo central é
5,0 times 10^-4 kg cdot m^2
e seu centro de massa está a 4 cm do ponto de apoio. Se a rotação é no sentido horário quando vista de cima, quais são (a) a taxa de precessão e (b) o sentido da precessão quando o pião é visto de cima?

Passo 1

O enunciado descreve um pião de massa 0,5 kg que gira a 30 rev/s (ou , !omegarm spin=30times2piapprox60pi,rad/s ) em torno de um eixo inclinado de 30° em relação à vertical. Precisamos usar torque gravitacional e momento angular do pião para achar a taxa de precessão e depois determinar o sentido dessa precessão visto de cima.

Passo 2

O torque gravitacional é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição do centro de massa e a força peso. Como o eixo faz ângulo theta=30^circ com a vertical e o CM está a r=0,04,m, o módulo do torque é
tau = r,m,g,sintheta = 0,04cdot0,5cdot9,8cdotsin30^circ = 0,098,Ncdot m
O momento angular de rotação rápida é L=I,omegarm spin, onde I=5,0times10^-4,kgcdot m^2 e omegarm spin=60pi,rad/s. Logo,
L = 5,0times10^-4cdot60pi approx0,0942,kgcdot m^2/s

Passo 3

A taxa de precessão Omega satisfaz
Omega = tauL = 0,0980,0942approx1,04,rad/s
Para o sentido: como o pião gira no sentido horário visto de cima, o vetor momento angular L aponta para baixo. O torque gravitacional aponta horizontalmente perpendicular ao plano de inclinação, fazendo L girar no sentido anti-horário visto de cima. Portanto a precessão é contra-horária.

Resposta

(a) Omegaapprox1,04,rad/s (≈0,166 rev/s) (b) sentido contra-horário visto de cima

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