(D+) Um capacitor de placas planas e paralelas de área
possui um material de constante dielétrica
e resistividade
preenchendo todo o seu interior. Esse material não é perfeitamente isolante, de forma que ele permite a passagem de uma corrente elétrica de uma placa para a outra, descarregando gradualmente o capacitor. Suponha que a separação entre as placas é muito menor que as suas dimensões, de forma que elas podem ser tratadas como infinitas.
(a) Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) no interior do capacitor num instante
, quando a carga armazenada no capacitor vale
.
(b) Determine a densidade de corrente (módulo, direção e sentido) que flui no interior do dielétrico no mesmo instante.
(c) Utilizando a definição de corrente e os resultados acima, obtenha uma equação diferencial satisfeita por
e resolva a equação, determinando a carga como função do tempo. Suponha que a carga armazenada no instante inicial
vale
.
(d) Num meio dielétrico linear, homogêneo e isotrópico, a densidade de corrente de deslocamento de Maxwell é dada por
. Determine
num instante
e compare com o resultado do item (b).
(e) Haverá campo magnético no interior do dielétrico enquanto o capacitor é descarregado? Discuta.
(a) Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) no interior do capacitor num instante
(b) Determine a densidade de corrente (módulo, direção e sentido) que flui no interior do dielétrico no mesmo instante.
(c) Utilizando a definição de corrente e os resultados acima, obtenha uma equação diferencial satisfeita por
(d) Num meio dielétrico linear, homogêneo e isotrópico, a densidade de corrente de deslocamento de Maxwell é dada por
(e) Haverá campo magnético no interior do dielétrico enquanto o capacitor é descarregado? Discuta.
Passo 1
O enunciado trata de um capacitor de placas planas paralelas de área
, separadas por um dielétrico de constante
e resistividade
. Como o dielétrico é condutor imperfeito, há uma corrente de fuga que descarrega o capacitor. Vamos calcular:
- (a) o campo elétrico
interno em função de , - (b) a densidade de corrente de condução
, - (c) a equação diferencial para
e sua solução com , - (d) a densidade de corrente de deslocamento
e comparação com , - (e) a existência (ou não) de campo magnético interno.
Passo 2
Usando a lei de Gauss no dielétrico homogêneo e assumindo placas infinitas, o campo é uniforme e dado por
Logo
O vetor campo aponta de cada placa positiva para a negativa, então
onde
vai da placa positiva à negativa.
Passo 3
A densidade de corrente de condução no dielétrico é
portanto
e seu módulo vale
, no mesmo sentido de
.
Passo 4
A corrente de fuga que atravessa a área
vale
Como a descarga reduz
, temos
Separamos variáveis e integramos:
Passo 5
A densidade de corrente de deslocamento de Maxwell é
Como
,
Portanto
e
têm mesmo módulo e sentidos opostos.
Passo 6
Pela lei de Ampère–Maxwell,
no interior do dielétrico. Com simetria de placas infinitas vem
e, logo,
Não há campo magnético no dielétrico enquanto o capacitor descarrega.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(d) , ou seja, mesmos módulo e sentidos opostos.
(e) Não, no interior durante a descarga.
(b)
(c)
(d)
(e) Não,