(D+) Um capacitor de placas planas e paralelas de área A possui um material de constante dielétrica K e resistividade rho preenchendo todo o seu interior. Esse material não é perfeitamente isolante, de forma que ele permite a passagem de uma corrente elétrica de uma placa para a outra, descarregando gradualmente o capacitor. Suponha que a separação entre as placas é muito menor que as suas dimensões, de forma que elas podem ser tratadas como infinitas.
(a) Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) no interior do capacitor num instante t, quando a carga armazenada no capacitor vale Q(t).
(b) Determine a densidade de corrente (módulo, direção e sentido) que flui no interior do dielétrico no mesmo instante.
(c) Utilizando a definição de corrente e os resultados acima, obtenha uma equação diferencial satisfeita por Q(t) e resolva a equação, determinando a carga como função do tempo. Suponha que a carga armazenada no instante inicial t=0 vale Q0.
(d) Num meio dielétrico linear, homogêneo e isotrópico, a densidade de corrente de deslocamento de Maxwell é dada por Jd=K epsilon0 partial Epartial t. Determine Jd num instante t e compare com o resultado do item (b).
(e) Haverá campo magnético no interior do dielétrico enquanto o capacitor é descarregado? Discuta.

Passo 1

O enunciado trata de um capacitor de placas planas paralelas de área A, separadas por um dielétrico de constante K e resistividade rho. Como o dielétrico é condutor imperfeito, há uma corrente de fuga que descarrega o capacitor. Vamos calcular:
  • (a) o campo elétrico E interno em função de Q(t),
  • (b) a densidade de corrente de condução J,
  • (c) a equação diferencial para Q(t) e sua solução com Q(0)=Q0,
  • (d) a densidade de corrente de deslocamento Jd e comparação com J,
  • (e) a existência (ou não) de campo magnético interno.

Passo 2

Usando a lei de Gauss no dielétrico homogêneo e assumindo placas infinitas, o campo é uniforme e dado por
oint Dcdot dA = Qrm livre, D=Kepsilon0E
Logo
Kepsilon0 E,A = Q(t) Longrightarrow E = Q(t)Kepsilon0,A
O vetor campo aponta de cada placa positiva para a negativa, então
E(t)=Q(t)Kepsilon0,A,n,
onde n vai da placa positiva à negativa.

Passo 3

A densidade de corrente de condução no dielétrico é
J = sigmaE , sigma=1rho
portanto
J(t)=1rho,Q(t)Kepsilon0,A,n
e seu módulo vale
J=Q(t)rho,Kepsilon0,A, no mesmo sentido de E.

Passo 4

A corrente de fuga que atravessa a área A vale
i(t)=J(t),A = Q(t)rho,Kepsilon0
Como a descarga reduz Q, temos
i(t)=-dQdt Longrightarrow -dQdt = Qrho,Kepsilon0
Separamos variáveis e integramos:
dQQ = -dtrho,Kepsilon0 Longrightarrow Q(t)=Q0,exp!l(-trho,Kepsilon0r)

Passo 5

A densidade de corrente de deslocamento de Maxwell é
Jd = Kepsilon0,partialEpartial t
Como E=tfracQ(t)Kepsilon0 An,
partialEpartial t =1Kepsilon0 A,dQdt,n Longrightarrow Jd = 1A,dQdt,n =-Qrho,Kepsilon0,A,n =-J
Portanto Jd e J têm mesmo módulo e sentidos opostos.

Passo 6

Pela lei de Ampère–Maxwell,
nablatimesH = J + Jd = 0
no interior do dielétrico. Com simetria de placas infinitas vem H=0 e, logo,
B = mu0 H = 0
Não há campo magnético no dielétrico enquanto o capacitor descarrega.

Resposta

(a) E(t)=Q(t)Kepsilon0,A,n.
(b) J(t)=Q(t)rho,Kepsilon0,A,n.
(c) Q(t)=Q0exp!l(-t/(rho,Kepsilon0)r).
(d) Jd = -,J, ou seja, mesmos módulo e sentidos opostos.
(e) Não, B=mu0H=0 no interior durante a descarga.

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