D) Dada uma transformação linear F: U V e dado qualquer nu in V o conjunto u in U ; F(u)=v è um subespaço vetorial de U.

Passo 1

O enunciado trabalha com uma transformação linear F: U to V e afirma que, para qualquer dado ,vin V, o conjunto
Sv = ,uin U mid F(u)=v
é um subespaço vetorial de U. O conteúdo aqui é pré-imagem de um ponto por aplicação linear e as condições para um subconjunto ser subespaço (conter o zero e ser fechado em soma e multiplicação escalar).

Passo 2

Para que Sv seja subespaço de U, precisamos verificar duas propriedades básicas:
  1. 0Uin Sv.
  2. Se u,win Sv e alphainK, então u+win Sv e alpha uin Sv.

Passo 3

Verificamos o ponto zero: como F é linear, vale
F(0U)=0V
Logo, se vneq 0V, então 0Unotin Sv, o que já impede Sv de ser subespaço.

Passo 4

Mesmo que v=0V, S0 coincide com o núcleo de F, que de fato é subespaço. Mas para vneq 0V até a soma falha: escolhemos u,win Sv com
F(u)=v, F(w)=v
Então
F(u+w)=F(u)+F(w)=v+v=2vneq v,
portanto u+wnotin Sv. Falha o fechamento em soma.

Resposta

A afirmação é falsa (exceto no caso especial v=0V, em que S0=ker F é subespaço).

Exercícios relacionados