D) Dada uma transformação linear
e dado qualquer
o conjunto
è um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado trabalha com uma transformação linear
e afirma que, para qualquer dado
, o conjunto
é um subespaço vetorial de
. O conteúdo aqui é pré-imagem de um ponto por aplicação linear e as condições para um subconjunto ser subespaço (conter o zero e ser fechado em soma e multiplicação escalar).
Passo 2
Para que
seja subespaço de
, precisamos verificar duas propriedades básicas:
-
. - Se
e , então e .
Passo 3
Verificamos o ponto zero: como
é linear, vale
Logo, se
, então
, o que já impede
de ser subespaço.
Passo 4
Mesmo que
,
coincide com o núcleo de
, que de fato é subespaço. Mas para
até a soma falha: escolhemos
com
Então
portanto
. Falha o fechamento em soma.
Resposta
A afirmação é falsa (exceto no caso especial
, em que
é subespaço).