a3) Se u é combinação linear de u1, u2, cdots, un, então F(u) é combinação linear de F(u1), F(u2), cdots, F(un) -

Passo 1

O enunciado diz que u é combinação linear dos vetores u1,u2,dots,un, isto é, existem escalares alpha1,alpha2,dots,alphan tais que
u=sumi=1^nalphai,ui
Precisamos mostrar que, sob a hipótese de que F é transformação linear (ou seja, satisfaz
F(v+w)=F(v)+F(w) e F(c,v)=c,F(v), a imagem F(u) também se escreve como combinação linear de F(u1),dots,F(un).

Passo 2

Aplicando F à combinação linear de u e usando as propriedades de linearidade, temos
F(u) =Fl(sumi=1^nalphai,uir) =sumi=1^nalphai,F(ui)
Isso mostra que F(u) é combinação linear dos vetores F(u1),dots,F(un), com os mesmos coeficientes alphai.

Resposta

F(u)=sumi=1^nalphai,F(ui),
logo F(u) é combinação linear de F(u1),F(u2),dots,F(un).

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