(D) Um disco circular isolante de raio R possui uma densidade superficial de carga não-uniforme dada por sigma(r)=sigma0(R / r), onde sigma0 é uma constante positiva e r é a distância ao eixo do disco.
(a) Calcule o potencial elétrico produzido pelo disco em um ponto ao longo do eixo de simetria do disco, a uma distância z do seu centro. Sugestão: Divida o disco em aneis e utilize o resultado do problema anterior.
(b) Obtenha o vetor campo elétrico nesse mesmo ponto. Compare com o resultado obtido na primeira lista de exercícios.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o potencial elétrico V(z) e depois o campo elétrico Ez(z) ao longo do eixo de um disco isolante de raio R, cuja densidade de carga superficial varia com a distância ao centro como
sigma(r)=sigma0Rr,
Conteúdo: eletrostática – potencial e campo de distribuições contínuas.
O que vamos precisar:
1. Princípio da superposição e expressão de dV para um elemento de carga dq.
2. Dividir o disco em anéis de espessura dr, calcular dq, integrar para achar V(z).
3. Obter Ez por Ez=-dfracdVdz e comparar com o caso de disco uniformemente carregado.

Passo 2

Vamos dividir o disco em anéis de raio r e espessura dr.
  • A carga de cada anel é
dq=sigma(r)times(área do anel) =sigma0Rrtimes(2pi r,dr) =2pisigma0,R,dr, á
  • A distância de qualquer ponto desse anel até o ponto P no eixo (altura z) é raizr^2+z^2.
  • A contribuição de potencial dV desse anel, usando
dV=14pivarepsilon0dqraizr^2+z^2,,
fica
$$dV=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{2\pi\sigma_0,R,dr}{\sqrt{r2+z2}}
=\frac{\sigma_0,R}{2\varepsilon_0},\frac{dr}{\sqrt{r2+z2}},. $$

Passo 3

Integramos dV de r=0 até r=R:
V(z)=integral0^R dV =sigma0,R2varepsilon0 integral0^Rdrraizr^2+z^2,
Sabemos da integral padrão
integraldrraizr^2+z^2 =lnl(r+raizr^2+z^2r)|0^R =lnR+raizR^2+z^2z,
Logo
boxedV(z) =sigma0,R2varepsilon0 ln!l(R+raizR^2+z^2zr),

Passo 4

O campo ao longo do eixo é
Ez(z)=-dVdz,
Derivando V(z):
1. V(z)=AlnR+raizR^2+z^2z com A=dfracsigma0R2varepsilon0.
2. Usando regra da cadeia, chega-se a
$$E_z(z)
=\frac{\sigma_0R2}{2\varepsilon_0},\frac{1}{z\sqrt{R2+z^2}}, $$
sempre apontando no sentido positivo de Ez(z) =sigma0R^22varepsilon0,1zraizR^2+z^2,, (afastando-se do disco, pois a carga é positiva).

Passo 5

Comparação com o disco de densidade uniforme sigma=const:
  • No uniforme tínhamos
$$E_z^{\rm uni}(z)
=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{R2+z2}}\Bigr), Ez^rm uni(z) =sigma2varepsilon0l(1-zraizR^2+z^2r),, E_z(z)
=\frac{\sigma_0R2}{2\varepsilon_0,z\sqrt{R2+z^2}}, $$
que decai de forma diferente com sigma(r)propto1/r.

Resposta

Potencial no eixo:
V(z) =sigma0,R2varepsilon0 ln!l(R+raizR^2+z^2zr),
Campo no eixo:
Ez(z) =sigma0,R^22varepsilon0,zraizR^2+z^2 (apontando para +z)

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