(D) Um disco circular isolante de raio possui uma densidade superficial de carga não-uniforme dada por , onde é uma constante positiva e é a distância ao eixo do disco.
(a) Calcule o potencial elétrico produzido pelo disco em um ponto ao longo do eixo de simetria do disco, a uma distância do seu centro. Sugestão: Divida o disco em aneis e utilize o resultado do problema anterior.
(b) Obtenha o vetor campo elétrico nesse mesmo ponto. Compare com o resultado obtido na primeira lista de exercícios.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o potencial elétrico e depois o campo elétrico ao longo do eixo de um disco isolante de raio , cuja densidade de carga superficial varia com a distância ao centro como
Conteúdo: eletrostática – potencial e campo de distribuições contínuas.
O que vamos precisar:
1. Princípio da superposição e expressão de para um elemento de carga .
2. Dividir o disco em anéis de espessura , calcular , integrar para achar .
3. Obter por e comparar com o caso de disco uniformemente carregado.
Passo 2
Vamos dividir o disco em anéis de raio e espessura .
A carga de cada anel é
A distância de qualquer ponto desse anel até o ponto no eixo (altura ) é .
A contribuição de potencial desse anel, usando
fica
$$dV=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0},\frac{2\pi\sigma_0,R,dr}{\sqrt{r2+z2}}
Ez(z)=-dVdz,
Derivando V(z):
1. V(z)=AlnR+raizR^2+z^2z com A=dfracsigma0R2varepsilon0.
2. Usando regra da cadeia, chega-se a
$$E_z(z)
=\frac{\sigma_0R2}{2\varepsilon_0},\frac{1}{z\sqrt{R2+z^2}}, $$
sempre apontando no sentido positivo de Ez(z) =sigma0R^22varepsilon0,1zraizR^2+z^2,, (afastando-se do disco, pois a carga é positiva).
Passo 5
Comparação com o disco de densidade uniforme sigma=const: