Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio carregado com densidade linear de carga constante posicionado no eixo de uma casca cilíndrica condutora neutra, com raio interno e raio externo (). O sistema é infinito e está em equilíbrio eletrostático. Vamos precisar usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico em diferentes regiões e depois calcular as densidades superficiais de carga e o potencial elétrico. Vamos por partes!
Passo 2
Parte (a): Encontrar o campo elétrico usando a Lei de Gauss
A Lei de Gauss nos ajuda a relacionar o fluxo elétrico com a carga dentro de uma superfície fechada. A fórmula é:
Onde:
é o campo elétrico,
é um elemento da área,
é a carga total dentro da superfície gaussiana,
é a permissividade do vácuo.
Vamos analisar três regiões diferentes:
i) Região
Aqui, estamos dentro do raio interno da casca condutora. Como a casca é neutra e condutora, toda a carga do fio será neutralizada por uma carga induzida na superfície interna da casca.
Explicação Teórica: Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Portanto, dentro da casca (), o campo também será afetado.
Cálculo:
Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica com raio e comprimento .
A carga dentro dessa superfície é apenas a do fio:
Aplicando a Lei de Gauss:
Isolando :
ii) Região
Nesta região, estamos dentro do material do condutor. Como o condutor está em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro dele é zero.
Cálculo:
Dentro do condutor (), o campo elétrico .
iii) Região
Aqui, estamos fora da casca cilíndrica. A casca é neutra, então a carga total no sistema é apenas a do fio.
Cálculo:
Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica com raio e comprimento .
A carga interna é novamente apenas a do fio:
Aplicando a Lei de Gauss:
Isolando :
Passo 3
Parte (b): Determinar as densidades superficiais de carga induzida
Sabemos que a casca é neutra, então a carga induzida deve manter o equilíbrio.
Superfície Interna ():
A carga induzida na superfície interna deve cancelar a carga do fio dentro do condutor. Portanto:
Isolando :
Superfície Externa ():
Como a casca é neutra, a carga na superfície externa deve ser igual e oposta à carga induzida na interna: