(M) Um fio fino e retilíneo, carregado com uma densidade linear de carga constante lambda, é posicionado sobre o eixo de uma casca cilíndrica condutora, neutra, de raio interno a e raio externo b>a. Ambos são infinitos e o sistema se encontra em equilíbrio eletrostático.
(a) Utilizando a lei de Gauss, determine o vetor campo elétrico produzido pelo sistema em um ponto localizado a uma distância s do eixo, considerando as regiões (i) s, (ii) a e (iii) s>b.
(b) Determine as densidades superficiais de carga induzida nas superfícies interna e externa da casca cilíndrica.
© Determine o potencial elétrico produzido pelo sistema no mesmo ponto indicado no item (a), considerando as mesmas regiões do espaço. Tome como zero um ponto sobre a superfície externa da casca, ou seja, s=b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio carregado com densidade linear de carga constante lambda posicionado no eixo de uma casca cilíndrica condutora neutra, com raio interno a e raio externo b ( b > a). O sistema é infinito e está em equilíbrio eletrostático. Vamos precisar usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico em diferentes regiões e depois calcular as densidades superficiais de carga e o potencial elétrico. Vamos por partes!

Passo 2

Parte (a): Encontrar o campo elétrico usando a Lei de Gauss
A Lei de Gauss nos ajuda a relacionar o fluxo elétrico com a carga dentro de uma superfície fechada. A fórmula é:
oint E cdot dA = Qinternovarepsilon0
Onde:
  • E é o campo elétrico,
  • dA é um elemento da área,
  • Qinterno é a carga total dentro da superfície gaussiana,
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo.
Vamos analisar três regiões diferentes:
i) Região s < a
Aqui, estamos dentro do raio interno da casca condutora. Como a casca é neutra e condutora, toda a carga do fio será neutralizada por uma carga induzida na superfície interna da casca.
Explicação Teórica: Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Portanto, dentro da casca ( a < s < b), o campo também será afetado.
Cálculo:
Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica com raio s < a e comprimento L.
A carga dentro dessa superfície é apenas a do fio:
Qinterno = lambda L
Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot (2pi s L) = lambda Lvarepsilon0
Isolando E:
E = lambda2pi varepsilon0 s
ii) Região a < s < b
Nesta região, estamos dentro do material do condutor. Como o condutor está em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico dentro dele é zero.
Cálculo:
Dentro do condutor ( a < s < b), o campo elétrico E = 0.
iii) Região s > b
Aqui, estamos fora da casca cilíndrica. A casca é neutra, então a carga total no sistema é apenas a do fio.
Cálculo:
Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica com raio s > b e comprimento L.
A carga interna é novamente apenas a do fio:
Qinterno = lambda L
Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot (2pi s L) = lambda Lvarepsilon0
Isolando E:
E = lambda2pi varepsilon0 s

Passo 3

Parte (b): Determinar as densidades superficiais de carga induzida
Sabemos que a casca é neutra, então a carga induzida deve manter o equilíbrio.
Superfície Interna ( s = a):
A carga induzida na superfície interna deve cancelar a carga do fio dentro do condutor. Portanto:
sigmainterna cdot 2pi a L = -lambda L
Isolando sigmainterna:
sigmainterna = -lambda2pi a
Superfície Externa ( s = b):
Como a casca é neutra, a carga na superfície externa deve ser igual e oposta à carga induzida na interna:
sigmaexterna cdot 2pi b L = lambda L
Isolando sigmaexterna:
sigmaexterna = lambda2pi b

Passo 4

Parte ©: Determinar o potencial elétrico no ponto a distância s, usando V(b) = 0
O potencial elétrico pode ser encontrado integrando o campo elétrico. Vamos considerar cada região:
i) Região s < a
Aqui, o campo elétrico é:
E = lambda2pi varepsilon0 s
O potencial é:
V(s) = -integralb^s E , ds = -integralb^a lambda2pi varepsilon0 s ds - integrala^s 0 , ds
Integrando:
V(s) = -lambda2pi varepsilon0 ln(ab)
ii) Região a < s < b
Dentro do condutor, o campo é zero, então o potencial é constante:
V(s) = V(a) = -lambda2pi varepsilon0 ln(ab)
iii) Região s > b
Aqui, o campo elétrico é:
E = lambda2pi varepsilon0 s
O potencial é:
V(s) = -integralb^s lambda2pi varepsilon0 s' ds' = -lambda2pi varepsilon0 ln(sb)

Resposta

Resumindo:
a) O campo elétrico E(s) é dado por
E(s) = lambda2pi varepsilon0 s s & para s < a, 0 & para a < s < b, lambda2pi varepsilon0 s s & para s > b
b) As densidades superficiais de carga induzidas são
sigmainterna = -lambda2pi a, sigmaexterna = lambda2pi b
c) O potencial elétrico V(s) é
V(s) = -lambda2pi varepsilon0 ln(ab) & para s < a, -lambda2pi varepsilon0 ln(ab) & para a < s < b, -lambda2pi varepsilon0 ln(sb) & para s > b

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