(M) Considere uma esfera maciça de raio R, carregada com uma densidade volumétrica de carga constante e positiva rho.
(a) Esta esfera é condutora ou isolante? Justifique.
(b) Sejam A, B e C pontos localizados no interior, na superfície e no exterior da esfera, respectivamente. Sejam VA, VB e VC os valores do potencial elétrico nestes pontos, respectivamente. Sem calcular explicitamente os potenciais, ordene esses três potenciais do maior para o menor.
© O que mudaria na resposta do item anterior se rho fosse negativo?

Passo 1

O exercício fala de uma esfera maciça de raio com densidade volumétrica de carga constante .
Conteúdo: eletrostática—diferença entre condutor e isolante e comportamento do potencial elétrico numa distribuição de carga esférica.
O que vamos precisar:
  1. Conceito de condutor vs isolante;
  2. Expressão geral (ou comportamento) do potencial dentro e fora de uma esfera de carga uniforme;
  3. Comparar valores de em três pontos ( no interior, na superfície e no exterior).

Passo 2

(a) Condutor ou isolante?
  • Num condutor, as cargas livres se movem e vão para a superfície até o campo interno ser nulo.
  • Aqui temos densidade volumétrica constante ao longo de todo o volume, ou seja, cargas “presas” no interior.
    Logo a esfera não deixa as cargas se moverem para a superfície: é um isolante.

Passo 3

(b) Ordenar V(r)=rho6varepsilon0l(3R^2-r^2r)+constante, sem calcular tudo:
Teoria: para uma esfera com carga volumétrica uniforme, o potencial no interior varia como
V(r)=14pivarepsilon0,Qrcom Q=tfrac4pi R^33,rho
e fora (para VA>VB>VC ) decai como
Repare que dentro, diminui quando cresce (pois aparece ). Então:
  • Em ( , mais perto do centro) o potencial é maior.
  • Em ( ) é menor que em .
  • Em ( ) decai ainda mais, tendendo a zero no infinito.
    Logo, para :

Passo 4

© E se VC>VB>VA fosse negativo?
A forma de continua a mesma, só muda o sinal geral. Então dentro a curva ainda “cai” quando cresce, mas agora é negativa. No infinito , que é maior que qualquer valor negativo.
Portanto a ordem inverte quando pensamos em maior para menor:

Resposta

(a) A esfera é isolante.
(b) Para , .
© Para , inverte para .

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