(D) Uma esfera condutora de raio R é colocada no vácuo e possui uma carga total Q.
(a) Determine o campo elétrico produzido pela esfera em todo o espaço.
(b) Utilizando a expressão da densidade de energia, determine a energia total armazenada no campo elétrico produzido pela esfera.
(c) Utilizando o resultado acima e a expressão da energia em termos da capacitância e de Q, determine a autocapacitância da esfera. Compare com o resultado obtido em aula.
OBS: Quando usamos o argumento acima, podemos pensar que o capacitor ‘mútuo’ é formado pela esfera condutora e uma casca esférica concêntrica de raio infinito.

Passo 1

O enunciado fala de uma esfera condutora de raio R com carga total Q no vácuo. Vamos primeiro usar o Teorema de Gauss para achar o campo elétrico em função de r. Em seguida, empregaremos a densidade de energia do campo u=varepsilon02E^2 para calcular a energia total armazenada, integrando sobre todo o espaço. Por fim, usaremos a relação
U=Q^22C
para obter a autocapacitância C da esfera e comparar com o resultado clássico.

Passo 2

Para achar o campo elétrico usamos uma superfície gaussiana esférica de raio r. Pelo Teorema de Gauss:
oint Ecdot dA = Qrm intvarepsilon0
1. Se r<R, toda a carga está fora da superfície, logo Qrm int=0 e E=0.
2. Se r>= R, toda a carga Q está dentro, e pela simetria E(r)=E(r),hat r constante sobre a esfera de área 4pi r^2. Então
E(r),4pi r^2 = Qvarepsilon0 Longrightarrow E(r)=14pivarepsilon0;Qr^2;hat r

Passo 3

A energia total do campo é
U = integraltodo espaço u,dV = integral0^inftyvarepsilon02E^2(r),4pi r^2,dr ç
Como E=0 para r<R, a integral vai de R a infty. Substituindo
E(r)=Q4pivarepsilon0r^2,
temos
U = integralR^inftyvarepsilon02 gl(Q4pivarepsilon0r^2gr)^24pi r^2,dr = Q^28pivarepsilon0integralR^inftydrr^2 = Q^28pivarepsilon0l[,-1rr]R^infty = Q^28pivarepsilon0R

Passo 4

Sabendo que
U=Q^22C,
isolamos C:
C = Q^22U = Q^22,(Q^2/(8pivarepsilon0R)) =4pivarepsilon0R
Esse é exatamente o valor clássico da autocapacitância de uma esfera isolada.

Resposta

(a) E(r)= 0,&r<R,[6pt] dfrac14pivarepsilon0dfracQr^2;hat r,&r>= R
(b) U=Q^28pivarepsilon0R
(c) C=4pivarepsilon0R, que confere com o resultado visto em aula.]

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