(D) Uma esfera condutora de raio é colocada no vácuo e possui uma carga total .
(a) Determine o campo elétrico produzido pela esfera em todo o espaço.
(b) Utilizando a expressão da densidade de energia, determine a energia total armazenada no campo elétrico produzido pela esfera.
(c) Utilizando o resultado acima e a expressão da energia em termos da capacitância e de , determine a autocapacitância da esfera. Compare com o resultado obtido em aula.
OBS: Quando usamos o argumento acima, podemos pensar que o capacitor ‘mútuo’ é formado pela esfera condutora e uma casca esférica concêntrica de raio infinito.
Passo 1
O enunciado fala de uma esfera condutora de raio com carga total no vácuo. Vamos primeiro usar o Teorema de Gauss para achar o campo elétrico em função de . Em seguida, empregaremos a densidade de energia do campo para calcular a energia total armazenada, integrando sobre todo o espaço. Por fim, usaremos a relação
para obter a autocapacitância da esfera e comparar com o resultado clássico.
Passo 2
Para achar o campo elétrico usamos uma superfície gaussiana esférica de raio . Pelo Teorema de Gauss:
. Se , toda a carga está fora da superfície, logo e . . Se , toda a carga está dentro, e pela simetria constante sobre a esfera de área . Então
Passo 3
A energia total do campo é
Como para , a integral vai de a . Substituindo
temos
Passo 4
Sabendo que
isolamos :
Esse é exatamente o valor clássico da autocapacitância de uma esfera isolada.
Resposta
(a)
(b) U=Q^28pivarepsilon0R
(c) C=4pivarepsilon0R, que confere com o resultado visto em aula.]