(D) Uma esfera maciça de raio R possui uma densidade volumétrica de carga não-uniforme dada por rho(r)= rho0(r / R), onde rho0 é uma constante positiva e r é a distância até o centro dela.
(a) Utilizando a lei de Gauss, determine o vetor campo elétrico produzido pela esfera em um ponto localizado a uma distância r do centro, considerando as regiões (i) r <= R e (ii) r>R.
(b) Determine o potencial elétrico no mesmo ponto, considerando as mesmas regiões do espaço. Tome como zero um ponto infinitamente afastado da esfera.
© Faça gráficos do potencial e da intensidade do campo elétrico como função de r.

Passo 1

Beleza, vamos resumir rapidinho o que rolou: temos uma esfera maciça de raio cuja densidade de carga varia com a distância ao centro segundo
. O exercício pede:
  1. Com a lei de Gauss, achar o campo elétrico para as regiões (i) e (ii) .
  2. Calcular o potencial elétrico nessas mesmas regiões, tomando .
  3. Fazer gráficos qualitativos de e versus .
    Pra isso vamos precisar de:
  • Lei de Gauss ( ),
  • cálculo de carga interna via integral de volume,
  • relação .

Passo 2

Primeiro, achamos a carga interna até um raio genérico Qint(r) =integral0^rrho(r'),4pi r'^2,dr' =integral0^rrho0,r'R,4pi r'^2,dr' =4pirho0Rintegral0^rr'^3,dr' =4pirho0R,r^44 =pi,rho0,r^4R :

Passo 3

Agora uso a lei de Gauss: para uma esfera de raio E(r)=14pivarepsilon0,Qint(r)r^2 =14pivarepsilon0,pi,rho0,r^4/Rr^2 =rho0,r^24varepsilon0,R, ,
E(r)=14pivarepsilon0,Qtotr^2 =rho0,R^34varepsilon0,r^2, .
(i) Se ,
ou seja .
(ii) Para a carga total é
,
logo
ou seja .

Passo 4

Partindo de V(r)=-integralinfty^rE(r'),dr' =-integralinfty^rrho0,R^34varepsilon0,r'^2,dr' =rho0,R^34varepsilon0,r :
(ii) Para V(R)=rho0,R^34varepsilon0,R=rho0,R^24varepsilon0 ,
V(r)=V(R)-integralR^rE(r'),dr' =rho0,R^24varepsilon0 -integralR^rrho0,r'^24varepsilon0,R,dr' =rho012varepsilon0,R,l(4R^3-r^3r)
(i) Para , usamos continuidade em :
Então

Passo 5

Gráficos qualitativos:
  • cresce como de a , atinge em , e depois cai como .
  • é um polinômio em de a (curva suave decrescente), atinge em , e para decai como .

Resposta

Campo elétrico:
E(r)= dfracrho0,r^24varepsilon0,R,hat r, & r<= R,[6pt] dfracrho0,R^34varepsilon0,r^2,hat r, & r>R
Potencial elétrico (com V(r)= dfracrho012varepsilon0,R,l(4R^3 - r^3r), & r<= R,[6pt] dfracrho0,R^34varepsilon0,r, & r>R ):

Exercícios relacionados