(F) Duas partículas de cargas positivas
e
são fixadas nas extremidades de um bastão isolante de comprimento d. Uma terceira partícula carregada pode se mover livremente ao longo do comprimento do bastão.
(a) Em que posição ao longo do bastão a terceira partícula estará em equilíbrio?
(b) Discuta a estabilidade do equilíbrio dessa partícula em função do sinal de sua carga. (Dica: considere pequenos deslocamentos a partir da posição de equilíbrio)
(a) Em que posição ao longo do bastão a terceira partícula estará em equilíbrio?
(b) Discuta a estabilidade do equilíbrio dessa partícula em função do sinal de sua carga. (Dica: considere pequenos deslocamentos a partir da posição de equilíbrio)
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é o seguinte: temos um bastão de comprimento d com duas cargas positivas fixas nas pontas, uma de valor q em x=0 e outra de valor 3q em x=d. Uma terceira carga qualquer (Q) desliza livremente ao longo desse bastão. O que queremos é:
• Conteúdo: eletrostática, Lei de Coulomb, superposição de forças e equilíbrio mecânico (somatório das forças = 0).
• O que vamos usar: a fórmula da força elétrica entre duas cargas
• Conteúdo: eletrostática, Lei de Coulomb, superposição de forças e equilíbrio mecânico (somatório das forças = 0).
• O que vamos usar: a fórmula da força elétrica entre duas cargas
e o conceito de estabilidade (ver se, ao deslocar um pouco, a força resultante puxa de volta ou não).
Passo 2
Definindo a posição de equilíbrio
- Seja x a distância da partícula Q até a carga q (em x=0). Logo, a distância até a carga 3q é (d–x).
- Pela Lei de Coulomb, a força que q exerce em Q é
e a força que 3q exerce em Q é
- No equilíbrio, a soma vetorial dessas duas forças deve ser zero. Como ambas são de repulsão (para Q>0), elas agem em sentidos opostos. Se considerarmos sentido positivo para a direita, temos
4. Igualando valores:
$$\frac{k,q,Q}{x^2} = \frac{k,3q,Q}{(d - x)^2}
\quad\Longrightarrow\quad
\frac1{x^2} = \frac3{(d - x)^2},.
(d - x) = \sqrt{3};x
\quad\Longrightarrow\quad
d = x,(1 + \sqrt3)
\quad\Longrightarrow\quad
d = x,(1 + \sqrt3)
\quad\Longrightarrow\quad
x = \frac{d}{1 + \sqrt3},. $$
(Se quiser simplificar, dá para mostrar que isso equivale a .)
(Se quiser simplificar, dá para mostrar que isso equivale a
Passo 3
Analisando a estabilidade
- Para saber se esse ponto de equilíbrio é estável, a gente imagina um pequeno deslocamento
. - Se Q for positiva, um “passinho” para a esquerda (x = x₀–δ) faz
crescer mais do que diminui, então a resultante fica apontando para a direita (ou seja, volta ao ponto de equilíbrio). O mesmo vale para um deslocamento para a direita: a resultante aponta para a esquerda. Isso caracteriza um mínimo potencial, ou seja, equilíbrio estável para carga positiva. - Se Q for negativa, as direções das forças invertem (porque agora são atrações), e um pequeno descolamento faz a força resultante empurrar a partícula ainda mais para longe do ponto inicial. Isso dá equilíbrio instável para carga negativa.
Resposta
(a) A posição de equilíbrio, medida a partir da carga q em x=0, é
(b) Se a partícula for carregada positivamente, o equilíbrio é estável (pequenos deslocamentos a trazem de volta). Se for carregada negativamente, o equilíbrio é instável.