1. (d) Explique o funcionamento do método da variação dos parâmetros.

Passo 1

O enunciado pede para explicar como funciona o método da variação dos parâmetros, que é uma técnica para encontrar uma solução particular de uma equação diferencial linear não homogênea. Vamos focar no caso de segunda ordem, mas o raciocínio geral vale para ordens maiores. Precisamos conhecer a solução geral da equação homogênea associada e a ideia de Wronskiano.

Passo 2

Considere a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
y'' + p(x),y' + q(x),y = r(x)
Primeiro, resolvemos a equação homogênea
y'' + p(x),y' + q(x),y = 0
e encontramos duas soluções lineares independentes ,y1(x) e ,y2(x). A solução geral homogênea é
yh(x) = C1,y1(x) + C2,y2(x),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

A ideia da variação dos parâmetros é buscar uma solução particular da forma
yp(x) = u1(x),y1(x) + u2(x),y2(x),
onde u1 e u2 são funções a determinar. Para simplificar os cálculos, impomos a condição auxiliar
u1'(x),y1(x) + u2'(x),y2(x) = 0
Com isso, ao substituir yp na equação original e usar essa condição, obtemos outro relacionamento
u1'(x),y1'(x) + u2'(x),y2'(x) = r(x)

Passo 4

Temos assim um sistema para
Resolvendo por Cramer usando o Wronskiano
chegamos a
Basta então integrar
e montar
(,y_p(x)=u_1(x),y_1(x)+u_2(x),y_2(x)].]

Resposta

O método da variação dos parâmetros consiste em:
  1. Encontrar duas soluções independentes y1,y2 da homogênea.
  2. Fazer o ansatz yp=u1(x)y1+u2(x)y2 e impor u1'y1+u2'y2=0.
  3. Escrever o sistema para u1' e u2', resolvê-lo via Wronskiano e integrar.
  4. Obter a solução particular yp e então a solução geral y=yh+yp.

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