- (d) Explique o funcionamento do método da variação dos parâmetros.
Passo 1
O enunciado pede para explicar como funciona o método da variação dos parâmetros, que é uma técnica para encontrar uma solução particular de uma equação diferencial linear não homogênea. Vamos focar no caso de segunda ordem, mas o raciocínio geral vale para ordens maiores. Precisamos conhecer a solução geral da equação homogênea associada e a ideia de Wronskiano.
Passo 2
Considere a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
Primeiro, resolvemos a equação homogênea
e encontramos duas soluções lineares independentes
e
. A solução geral homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
A ideia da variação dos parâmetros é buscar uma solução particular da forma
onde
e
são funções a determinar. Para simplificar os cálculos, impomos a condição auxiliar
Com isso, ao substituir
na equação original e usar essa condição, obtemos outro relacionamento
Passo 4
Temos assim um sistema para
Resolvendo por Cramer usando o Wronskiano
chegamos a
Basta então integrar
e montar
(,y_p(x)=u_1(x),y_1(x)+u_2(x),y_2(x)].]
(,y_p(x)=u_1(x),y_1(x)+u_2(x),y_2(x)].]
Resposta
O método da variação dos parâmetros consiste em:
- Encontrar duas soluções independentes
da homogênea.y1,y2 - Fazer o ansatz
e imporyp=u1(x)y1+u2(x)y2 .u1'y1+u2'y2=0 - Escrever o sistema para
eu1' , resolvê-lo via Wronskiano e integrar.u2' - Obter a solução particular
e então a solução geralyp .y=yh+yp