Nos problemas 1-8, ache uma solução geral para a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros.
5. y^prime prime+9 y=sec ^2(3 t)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de segunda ordem
y'' + 9y = sec^2(3t)
usando o método da variação de parâmetros. Vamos precisar encontrar primeiro a solução geral da homogênea associada e depois aplicar a fórmula de variação de parâmetros para obter uma particular.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + 9y = 0
A sua equação característica é r^2 + 9 = 0, com raízes r=pm 3i. Logo um conjunto fundamental de soluções é
y1(t)=cos(3t), y2(t)=sin(3t)

Passo 3

Calculamos o Wronskiano de y1,y2:
W(t)= cos(3t) & sin(3t) -3sin(3t) & 3cos(3t) =3cos^2(3t)+3sin^2(3t)=3
Pelas fórmulas de variação de parâmetros, escrevemos
u1'(t)=-g(t),y2(t)W(t), u2'(t)=g(t),y1(t)W(t),
onde g(t)=sec^2(3t). Assim
u1'(t)=-sec^2(3t),sin(3t)3, u2'(t)=sec^2(3t),cos(3t)3

Passo 4

Integramos cada derivada:
Para u1:
u1(t)=-13integralsin(3t)cos^2(3t),dt =-13integraltan(3t)sec(3t),dt =-19sec(3t)
Para u2:
u2(t)=13integralcos(3t)cos^2(3t),dt =13integralsec(3t),dt =19lnl|sec(3t)+tan(3t)r|

Passo 5

A solução particular é
yp(t)=u1(t)y1(t)+u2(t)y2(t) =-sec(3t)9cos(3t) +19lnl|sec(3t)+tan(3t)r|sin(3t)
Como -sec(3t)cos(3t)=-1, obtemos
yp(t)=-19 +19,sin(3t)lnl|sec(3t)+tan(3t)r|
Portanto a solução geral é
y(t)=C1cos(3t)+C2sin(3t) -19 +19sin(3t)lnl|sec(3t)+tan(3t)r|

Resposta

y(t)=C1cos(3t)+C2sin(3t) -19 +19sin(3t)lnl|sec(3t)+tan(3t)r|

Exercícios relacionados