Uma e.d.o. da forma
onde
são constantes, é chamada de e.d.o. de Cauchy-Euler. Podemos determinar soluções para uma e.d.o. desse tipo, supondo
e determinando
. Sabendo disso, resolva a e.d.o.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Resolver a equação diferencial ordinária
Informações dadas:
- Trata-se de uma equação linear de segunda ordem com coeficientes que são potências de
. - Não há termo não-homogêneo: o lado direito é
. - Os coeficientes numéricos das derivadas são (vendo a equação):
multiplicando , multiplicando e multiplicando .
Passo 2
Estratégia que vamos usar (passo-passo didático):
- Tentar uma solução da forma
, onde é um número a determinar. Essa suposição funciona bem para equações onde cada termos tem um fator multiplicando a derivada, porque ao derivar aparecem potências de que se combinam com esses fatores. - Mostrar como obter as derivadas de
:
Expliquei cada expressão:
é o expoente desconhecido; ao derivar uma potência
usamos a regra do poder: a derivada de
é
; repetindo a derivada obtemos
.
Passo 3
Substituir
,
e
na equação original:
Agora simplificar cada termo; note que
e
. Assim todos os termos têm fator comum
:
Fatorando
(e lembrando que queremos soluções para
, para não anular esse fator trivially),
Como
para
, devemos ter
Passo 4
Resolver a equação algébrica (chamada equação característica) para
:
Primeiro expandir:
Primeiro expandir:
Então resolvemos
Usamos a fórmula quadrática ou fatoração. Tentar fatorar: procuramos dois números cuja soma é
e produto é
. Esses números são
e
. Logo
Assim as raízes são
Passo 5
Interpretação das raízes e forma geral da solução:
- As duas raízes são reais e distintas (
e ). - Para uma equação de Cauchy–Euler com duas raízes reais distintas
e , as duas soluções independentes são e . A solução geral é uma combinação linear dessas duas soluções fundamentais. - Observação sobre domínio: as soluções encontradas estão definidas para
. Aqui as potências têm expoentes inteiros, então e são funções reais bem definidas para .