Uma e.d.o. da forma
a_{n} x^{n} \frac{d^{n} y}{d x^{n}}+a_{n-1} x^{n-1} \frac{d^{n-1} y}{d x^{n-1}}+\ldots+a_{1} x \frac{d y}{d x}+a_{0} y=g(x)
onde a_{n}, a_{n-1}, \ldots, a_{0} são constantes, é chamada de e.d.o. de Cauchy-Euler. Podemos determinar soluções para uma e.d.o. desse tipo, supondo y=x^{r} e determinando r. Sabendo disso, resolva a e.d.o.
x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}-4 y=0

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Resolver a equação diferencial ordinária
x^{2}y''-2x y'-4y=0.
Informações dadas:
  • Trata-se de uma equação linear de segunda ordem com coeficientes que são potências de x.
  • Não há termo não-homogêneo: o lado direito é 0.
  • Os coeficientes numéricos das derivadas são (vendo a equação): a_{2}=1 multiplicando x^{2}y'', a_{1}=-2 multiplicando x y' e a_{0}=-4 multiplicando y.

Passo 2

Estratégia que vamos usar (passo-passo didático):
  • Tentar uma solução da forma y=x^{r}, onde r é um número a determinar. Essa suposição funciona bem para equações onde cada termos tem um fator x^{k} multiplicando a derivada, porque ao derivar x^{r} aparecem potências de x que se combinam com esses fatores.
  • Mostrar como obter as derivadas de y=x^{r}:
y=x^{r},\qquad y' = r x^{r-1},\qquad y''=r(r-1)x^{r-2}.
Expliquei cada expressão: r é o expoente desconhecido; ao derivar uma potência x^{r} usamos a regra do poder: a derivada de x^{r} é r x^{r-1}; repetindo a derivada obtemos r(r-1)x^{r-2}.

Passo 3

Substituir y, y' e y'' na equação original:
x^{2}\bigl(r(r-1)x^{r-2}\bigr)-2x\bigl(r x^{r-1}\bigr)-4\bigl(x^{r}\bigr)=0.
Agora simplificar cada termo; note que x^{2}\cdot x^{r-2}=x^{r} e x\cdot x^{r-1}=x^{r}. Assim todos os termos têm fator comum x^{r}:
r(r-1)x^{r}-2r x^{r}-4 x^{r}=0.
Fatorando x^{r} (e lembrando que queremos soluções para x\neq 0, para não anular esse fator trivially),
x^{r}\bigl(r(r-1)-2r-4\bigr)=0.
Como x^{r}\neq 0 para x\neq 0, devemos ter
r(r-1)-2r-4=0.

Passo 4

Resolver a equação algébrica (chamada equação característica) para r:
Primeiro expandir:
r(r-1)-2r-4 = r^{2}-r-2r-4 = r^{2}-3r-4.
Então resolvemos
r^{2}-3r-4=0.
Usamos a fórmula quadrática ou fatoração. Tentar fatorar: procuramos dois números cuja soma é -3 e produto é -4. Esses números são -4 e 1. Logo
r^{2}-3r-4=(r-4)(r+1)=0.
Assim as raízes são
r_{1}=4,\qquad r_{2}=-1.

Passo 5

Interpretação das raízes e forma geral da solução:
  • As duas raízes são reais e distintas ( r_{1}=4 e r_{2}=-1).
  • Para uma equação de Cauchy–Euler com duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, as duas soluções independentes são x^{r_{1}} e x^{r_{2}}. A solução geral é uma combinação linear dessas duas soluções fundamentais.
  • Observação sobre domínio: as soluções encontradas estão definidas para x\neq 0. Aqui as potências têm expoentes inteiros, então x^{4} e x^{-1} são funções reais bem definidas para x\neq 0.

Resposta

y=C_{1}x^{4}+C_{2}x^{-1}

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