Sabendo que
é solução da e.d.o. dada, encontre uma segunda solução L.I. com
para cada equação diferencial.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a solução conhecida. As informações relevantes são:
- Equação diferencial:
- Uma solução conhecida:
.
O que se pede: encontrar uma segunda soluçãoque seja linearmente independente (L.I.) de .
Passo 2
Escolha do método: como temos uma equação linear de segunda ordem homogênea e já conhecemos uma solução
, o método natural é a redução de ordem. Vou apresentar a fórmula padrão e explicar cada peça.
Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão
Dividindo a equação original por
obtemos
Logo
A fórmula de redução de ordem (quando uma solução
é conhecida) fornece uma segunda solução dada por
Aqui
é o coeficiente de
na forma padrão;
é o fator que aparece para tornar a integral correta. Como
, tem-se
. Portanto a fórmula simplifica para
Explicando de forma bem simples: a ideia é procurar
da forma
. A fórmula acima já vem da substituição e de reduzir a ordem da equação.
Passo 3
Vamos calcular a integral
passo a passo.
Primeiro calcule
:
Logo o integrando é
Agora calculamos
Fazemos a substituição usual para termos com
: seja
. Então
e
. Observações úteis:
-
. -
.
Substituindo na integral:
Essa integral é elementar:
Voltando à variável
(lembrando
):
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula
. Substituindo o que achamos:
Multiplicando por
,
A segunda parcela
é simplesmente uma constante vezes
, por isso não fornece uma solução nova independentemente linear. Para obter uma solução linearmente independente tomamos a primeira parcela (ou qualquer múltiplo não nulo dela). Assim uma escolha conveniente para
é
que difere da expressão encontrada apenas por um fator constante
.
Passo 5
Verificação rápida de independência linear (motivação): para checar que
e
são L.I. podemos calcular o Wronskiano. Uma maneira simples é usar logaritmos:
Então
O Wronskiano satisfaz
. Substituindo dá um valor constante não nulo (especificamente
), portanto
e
são linearmente independentes em
. Isso confirma que a solução escolhida é válida.