Sabendo que y_{1} é solução da e.d.o. dada, encontre uma segunda solução L.I. com y_{1} para cada equação diferencial.
x^{2} y^{\prime \prime}-(x-0,1875) y=0, x>0, y_{1}(x)=x^{\frac{1}{4}} e^{2 \sqrt{x}}\

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a solução conhecida. As informações relevantes são:
  • Equação diferencial: x^{2}y''-(x-0,1875)y=0,\qquad x>0.
  • Uma solução conhecida: y_{1}(x)=x^{\frac{1}{4}}e^{2\sqrt{x}}.
    O que se pede: encontrar uma segunda solução y_{2}(x) que seja linearmente independente (L.I.) de y_{1}.

Passo 2

Escolha do método: como temos uma equação linear de segunda ordem homogênea e já conhecemos uma solução y_{1}, o método natural é a redução de ordem. Vou apresentar a fórmula padrão e explicar cada peça.
Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão
y''+P(x)y'+Q(x)y=0.
Dividindo a equação original por x^{2} obtemos
y''-\frac{x-0,1875}{x^{2}}\,y=0.
Logo
P(x)=0,\qquad Q(x)=-\frac{x-0,1875}{x^{2}}.
A fórmula de redução de ordem (quando uma solução y_{1} é conhecida) fornece uma segunda solução dada por
y_{2}=y_{1}\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx.
Aqui P(x) é o coeficiente de y' na forma padrão; e^{-\int P} é o fator que aparece para tornar a integral correta. Como P(x)=0, tem-se e^{-\int P}=1. Portanto a fórmula simplifica para
y_{2}=y_{1}\int \frac{1}{y_{1}^{2}}\,dx.
Explicando de forma bem simples: a ideia é procurar y_{2} da forma v(x)y_{1}(x). A fórmula acima já vem da substituição e de reduzir a ordem da equação.

Passo 3

Vamos calcular a integral \displaystyle \int \frac{1}{y_{1}^{2}}\,dx passo a passo.
Primeiro calcule y_{1}^{2}:
y_{1}^{2}=\bigl(x^{\frac{1}{4}}e^{2\sqrt{x}}\bigr)^{2}=x^{\frac{1}{2}}e^{4\sqrt{x}}.
Logo o integrando é
\frac{1}{y_{1}^{2}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}e^{4\sqrt{x}}}=x^{-\frac{1}{2}}e^{-4\sqrt{x}}.
Agora calculamos
\int x^{-\frac{1}{2}}e^{-4\sqrt{x}}\,dx.
Fazemos a substituição usual para termos com \sqrt{x}: seja t=\sqrt{x}. Então x=t^{2} e dx=2t\,dt. Observações úteis:
  • x^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{1}{t}.
  • e^{-4\sqrt{x}}=e^{-4t}.
Substituindo na integral:
\int x^{-\frac{1}{2}}e^{-4\sqrt{x}}\,dx=\int \frac{1}{t}e^{-4t}\cdot 2t\,dt =2\int e^{-4t}\,dt.
Essa integral é elementar:
2\int e^{-4t}\,dt=2\left(-\frac{1}{4}e^{-4t}\right)+C=-\frac{1}{2}e^{-4t}+C.
Voltando à variável x (lembrando t=\sqrt{x}):
\int \frac{1}{y_{1}^{2}}\,dx=-\frac{1}{2}e^{-4\sqrt{x}}+C.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula y_{2}=y_{1}\displaystyle\int \frac{1}{y_{1}^{2}}\,dx. Substituindo o que achamos:
y_{2}=y_{1}\left(-\frac{1}{2}e^{-4\sqrt{x}}+C\right).
Multiplicando por y_{1}=x^{\frac{1}{4}}e^{2\sqrt{x}},
y_{2}=x^{\frac{1}{4}}e^{2\sqrt{x}}\left(-\frac{1}{2}e^{-4\sqrt{x}}+C\right) =-\frac{1}{2}x^{\frac{1}{4}}e^{-2\sqrt{x}}+C\,x^{\frac{1}{4}}e^{2\sqrt{x}}.
A segunda parcela C\,x^{\frac{1}{4}}e^{2\sqrt{x}} é simplesmente uma constante vezes y_{1}, por isso não fornece uma solução nova independentemente linear. Para obter uma solução linearmente independente tomamos a primeira parcela (ou qualquer múltiplo não nulo dela). Assim uma escolha conveniente para y_{2} é
y_{2}(x)=x^{\frac{1}{4}}e^{-2\sqrt{x}},
que difere da expressão encontrada apenas por um fator constante -\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Verificação rápida de independência linear (motivação): para checar que y_{1} e y_{2} são L.I. podemos calcular o Wronskiano. Uma maneira simples é usar logaritmos:
\ln y_{1}=\tfrac{1}{4}\ln x+2\sqrt{x},\qquad \ln y_{2}=\tfrac{1}{4}\ln x-2\sqrt{x}.
Então
\frac{d}{dx}\ln y_{1}-\frac{d}{dx}\ln y_{2}=4\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\bigr)=4\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{2}{\sqrt{x}}.
O Wronskiano satisfaz W=y_{1}y_{2}\bigl(\frac{d}{dx}\ln y_{2}-\frac{d}{dx}\ln y_{1}\bigr). Substituindo dá um valor constante não nulo (especificamente -2), portanto y_{1} e y_{2} são linearmente independentes em x>0. Isso confirma que a solução escolhida é válida.

Resposta

y_{2}(x)=x^{\frac{1}{4}}e^{-2\sqrt{x}}

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