Sabendo que
é solução da e.d.o. dada, encontre uma segunda solução L.I. com
para cada equação diferencial.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- A equação diferencial é
- Foi dada uma solução conhecida
- O pedido: encontrar uma segunda solução
que seja linearmente independente (L.I.) de .
Informações relevantes que já temos e que vamos usar:
- A equação é linear, homogênea e de segunda ordem.
- Uma solução já conhecida é
. - O domínio é
(importante para considerar signos e evitar pontos singulares).
Passo 2
Escolha do método e explicação didática (redução de ordem).
- Quando se conhece uma solução
de uma equação linear homogênea de segunda ordem, o método padrão para obter uma segunda solução é a redução de ordem: procura-se uma solução da forma
onde
é uma função a determinar.
- Vamos transformar a equação para a forma padrão
. Dividindo a equação original por obtemos
Aqui, por clareza:
-
é o coeficiente de na forma padrão. -
é o coeficiente de . - A fórmula prática que usaremos (resultado da redução de ordem) para construir
é:
onde a constante multiplicativa resultante da integração pode ser desprezada (ou absorvida), pois múltiplos escalares não alteram independência linear.
- Vou explicar rapidamente de onde vem essa fórmula (sem pular etapas importantes):
- Propõe-se
. Calcula-se e . - Substituindo na equação e usando que
satisfaz a equação, os termos com cancelam, sobrando uma equação em e . - Impõe-se a simplificação adicional
não diretamente, mas é comum colocar e eliminar para obter uma equação de primeira ordem para . O resultado leva à integral acima com o fator exponencial envolvendo .
- Propõe-se
- Agora aplicamos a fórmula com os valores de
e de .
Passo 3
Aplicação direta da fórmula e cálculo do integrando.
- Primeiro calculemos o fator exponencial:
válido para
.
- O integrando da fórmula é então
- Simplificando:
logo
- Portanto a integral que precisamos calcular é
- Conhecimento básico de integrais: a primitiva de
é , isto é
- Substituindo na fórmula de
:
- Simplificando usando
:
- Como multiplicar por uma constante não afeta independência linear, podemos escolher
(ou o negativo; ambos são aceitáveis). Essa é a segunda solução obtida por redução de ordem.
Passo 4
Verificação de independência linear (cálculo do wronskiano) e comentário final.
- Para garantir que
e são linearmente independentes, calculemos o wronskiano
- Usando
e , calcule as derivadas (mostrando as contas):- Para
:
- Para
:
- Para
- Agora o wronskiano:
- Como
para todo , as funções são linearmente independentes no domínio . - Observação útil: essa equação é a equação de Bessel de ordem
; as soluções conhecidas são combinações de e . Mas a redução de ordem foi suficiente e direta.]