Sabendo que y_{1} é solução da e.d.o. dada, encontre uma segunda solução L.I. com y_{1} para cada equação diferencial.
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\left(x^{2}-\frac{1}{4}\right) y=0, x>0, y_{1}(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{\sqrt{x}}\

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • A equação diferencial é
x^{2}y''+x y'+\left(x^{2}-\frac{1}{4}\right)y=0,\qquad x>0.
  • Foi dada uma solução conhecida
y_{1}(x)=\frac{\operatorname{sen} x}{\sqrt{x}}.
  • O pedido: encontrar uma segunda solução y_{2}(x) que seja linearmente independente (L.I.) de y_{1}.
Informações relevantes que já temos e que vamos usar:
  • A equação é linear, homogênea e de segunda ordem.
  • Uma solução já conhecida é y_{1}(x)=\dfrac{\operatorname{sen} x}{\sqrt{x}}.
  • O domínio é x>0 (importante para considerar signos e evitar pontos singulares).

Passo 2

Escolha do método e explicação didática (redução de ordem).
  • Quando se conhece uma solução y_{1} de uma equação linear homogênea de segunda ordem, o método padrão para obter uma segunda solução é a redução de ordem: procura-se uma solução da forma
y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x),
onde v(x) é uma função a determinar.
  • Vamos transformar a equação para a forma padrão y''+P(x)y'+Q(x)y=0. Dividindo a equação original por x^{2} obtemos
y''+\frac{1}{x}y'+\left(1-\frac{1}{4x^{2}}\right)y=0.
Aqui, por clareza:
  • P(x)=\dfrac{1}{x} é o coeficiente de y' na forma padrão.
  • Q(x)=1-\dfrac{1}{4x^{2}} é o coeficiente de y.
  • A fórmula prática que usaremos (resultado da redução de ordem) para construir y_{2} é:
y_{2}(x)=y_{1}(x)\int \frac{\exp\!\big(-\int P(x)\,dx\big)}{y_{1}(x)^{2}}\,dx,
onde a constante multiplicativa resultante da integração pode ser desprezada (ou absorvida), pois múltiplos escalares não alteram independência linear.
  • Vou explicar rapidamente de onde vem essa fórmula (sem pular etapas importantes):
    1. Propõe-se y_{2}=v\,y_{1}. Calcula-se y_{2}'=v'y_{1}+vy_{1}' e y_{2}''=v''y_{1}+2v'y_{1}'+v y_{1}''.
    2. Substituindo na equação e usando que y_{1} satisfaz a equação, os termos com v cancelam, sobrando uma equação em v' e v''.
    3. Impõe-se a simplificação adicional v''=0 não diretamente, mas é comum colocar u=v' e eliminar v para obter uma equação de primeira ordem para u. O resultado leva à integral acima com o fator exponencial envolvendo P(x).
  • Agora aplicamos a fórmula com os valores de P(x) e de y_{1}.

Passo 3

Aplicação direta da fórmula e cálculo do integrando.
  • Primeiro calculemos o fator exponencial:
\exp\!\Big(-\int P(x)\,dx\Big)=\exp\!\Big(-\int \frac{1}{x}\,dx\Big)=\exp\big(-\ln x\big)=\frac{1}{x},
válido para x>0.
  • O integrando da fórmula é então
\frac{\exp\!\big(-\int P\,dx\big)}{y_{1}^{2}}=\frac{1/x}{\big(\dfrac{\operatorname{sen} x}{\sqrt{x}}\big)^{2}}.
  • Simplificando:
\big(\dfrac{\operatorname{sen} x}{\sqrt{x}}\big)^{2}=\frac{\operatorname{sen}^{2}x}{x},
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\frac{1/x}{\operatorname{sen}^{2}x / x}=\frac{1}{\operatorname{sen}^{2}x}=\csc^{2}x.
  • Portanto a integral que precisamos calcular é
\int \csc^{2}x\,dx.
  • Conhecimento básico de integrais: a primitiva de \csc^{2}x é -\cot x, isto é
\int \csc^{2}x\,dx=-\cot x + C.
  • Substituindo na fórmula de y_{2}:
y_{2}(x)=y_{1}(x)\cdot\big(-\cot x\big)=\frac{\operatorname{sen} x}{\sqrt{x}}\cdot(-\cot x).
  • Simplificando usando \cot x=\dfrac{\cos x}{\operatorname{sen} x}:
y_{2}(x)=-\frac{\operatorname{sen} x}{\sqrt{x}}\cdot\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}=-\frac{\cos x}{\sqrt{x}}.
  • Como multiplicar por uma constante não afeta independência linear, podemos escolher
y_{2}(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{x}}
(ou o negativo; ambos são aceitáveis). Essa é a segunda solução obtida por redução de ordem.

Passo 4

Verificação de independência linear (cálculo do wronskiano) e comentário final.
  • Para garantir que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes, calculemos o wronskiano
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\[4pt] y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
  • Usando y_{1}=\dfrac{\operatorname{sen} x}{\sqrt{x}} e y_{2}=\dfrac{\cos x}{\sqrt{x}}, calcule as derivadas (mostrando as contas):
    • Para y_{1}:
    y_{1}'=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\operatorname{sen} x}{\sqrt{x}}\right) =\frac{\cos x}{\sqrt{x}}-\frac{1}{2}\frac{\operatorname{sen} x}{x^{3/2}}.
    • Para y_{2}:
    y_{2}'=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\cos x}{\sqrt{x}}\right) =-\frac{\operatorname{sen} x}{\sqrt{x}}-\frac{1}{2}\frac{\cos x}{x^{3/2}}.
  • Agora o wronskiano:
\begin{aligned} W&=\frac{\operatorname{sen} x}{\sqrt{x}}\left(-\frac{\operatorname{sen} x}{\sqrt{x}}-\frac{1}{2}\frac{\cos x}{x^{3/2}}\right) -\left(\frac{\cos x}{\sqrt{x}}-\frac{1}{2}\frac{\operatorname{sen} x}{x^{3/2}}\right)\frac{\cos x}{\sqrt{x}}\\[4pt] &=-\frac{\operatorname{sen}^{2}x}{x}-\frac{1}{2}\frac{\operatorname{sen} x\cos x}{x^{2}} -\frac{\cos^{2}x}{x}+\frac{1}{2}\frac{\operatorname{sen} x\cos x}{x^{2}}\\[4pt] &=-\frac{\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x}{x}=-\frac{1}{x}. \end{aligned}
  • Como W(y_{1},y_{2})(x)=-\dfrac{1}{x}\neq 0 para todo x>0, as funções são linearmente independentes no domínio x>0.
  • Observação útil: essa equação é a equação de Bessel de ordem \nu=\tfrac{1}{2}; as soluções conhecidas são combinações de \dfrac{\operatorname{sen} x}{\sqrt{x}} e \dfrac{\cos x}{\sqrt{x}}. Mas a redução de ordem foi suficiente e direta.]

Resposta

\displaystyle y_{2}(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{x}}

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