Resolva as equações de Euler:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
. Informação relevante extraída do enunciado:
- Há o termo
, portanto é necessário trabalhar em . - É uma equação linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes que dependem de
.
O objetivo aqui é encontrar a solução geralque satisfaça essa equação para .
Passo 2
Vamos transformar a equação em uma com coeficientes constantes para tornar a resolução mais simples. Para isso introduzimos a mudança de variável
e escrevemos
. Vou explicar como transformar as derivadas passo a passo.
Primeiro, relacionamos as derivadas usando
. Como
, pela regra da cadeia:
Agora calculamos
. Diferenciando
em relação a
(usando produto/ cadeia):
É mais direto fazer assim: escrever
e derivar em
lembrando que
. Fazendo as contas:
Resumo das fórmulas úteis que obtivemos:
onde as derivadas
são em relação a
.
Passo 3
Substituímos essas expressões na equação original. A parte esquerda fica:
Juntando termos:
Agora transformamos o lado direito: como
,
Portanto a equação transformada em
é uma equação linear com coeficientes constantes:
Passo 4
Vamos resolver a equação homogênea associada primeiro:
Procuramos soluções da forma
. Substituindo:
Essa é a equação característica; resolvendo:
Como temos duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
Vamos encontrar uma solução particular como soma de duas partes, uma para cada termo do lado direito:
com
resolvendo para
e
para
.
Começando por
: normalmente tentaríamos
, mas como
já é solução da homogênea (porque
é raiz), há ressonância. Nesse caso multiplicamos por
e tentamos
onde
é constante a determinar. Calculamos derivadas:
Agora aplicamos o operador
:
Agrupando termos em
e em
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
(sem ): .
Logo
Queremos
, portanto
. Assim
Passo 6
Agora tratamos o termo polinomial
. Para um lado direito polinomial de grau 1, tentamos uma solução particular polinomial de grau 1:
com
constantes. Calculamos
Aplicando o operador:
Queremos que isso seja igual a
. Igualando coeficientes do polinômio:
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Portanto
Passo 7
Somando as partes particulares:
A solução geral em
é a soma da homogênea com a particular:
Passo 8
Voltamos à variável original
. Lembrando que
,
e
. Substituindo:
Podemos escrever agrupando termos em
se quisermos:
válida para
.