Resolva as equações de Euler:
x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=3 x^{2}+2 \ln x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y''-2x y'+2y=3x^{2}+2\ln x,
e pede a solução geral y(x). Informação relevante extraída do enunciado:
  • Há o termo \ln x, portanto é necessário trabalhar em x>0.
  • É uma equação linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes que dependem de x.
    O objetivo aqui é encontrar a solução geral y(x) que satisfaça essa equação para x>0.

Passo 2

Vamos transformar a equação em uma com coeficientes constantes para tornar a resolução mais simples. Para isso introduzimos a mudança de variável
t=\ln x,
e escrevemos y(x)=u(t). Vou explicar como transformar as derivadas passo a passo.
Primeiro, relacionamos as derivadas usando t=\ln x. Como dt/dx=1/x, pela regra da cadeia:
y'=\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}=\frac{u'(t)}{x}.
Agora calculamos y''. Diferenciando y'=\dfrac{u'(t)}{x} em relação a x (usando produto/ cadeia):
y''=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{u'(t)}{x}\right) = \frac{1}{x}\frac{d}{dt}\!\left(\frac{u'(t)}{x}\right)\cdot\frac{dt}{dx}.
É mais direto fazer assim: escrever y'=\dfrac{u'}{x} e derivar em x lembrando que du'/dx=(u''(t))\cdot(dt/dx)=\dfrac{u''}{x}. Fazendo as contas:
y''=\frac{1}{x}\cdot\frac{u''(t)}{x}-\frac{u'(t)}{x^{2}}=\frac{u''(t)-u'(t)}{x^{2}}.
Resumo das fórmulas úteis que obtivemos:
y'=\frac{u'}{x},\qquad y''=\frac{u''-u'}{x^{2}},
onde as derivadas u',u'' são em relação a t.

Passo 3

Substituímos essas expressões na equação original. A parte esquerda fica:
x^{2}y''-2x y'+2y = x^{2}\cdot\frac{u''-u'}{x^{2}} -2x\cdot\frac{u'}{x}+2u = u''-u' -2u' +2u.
Juntando termos:
u'' -3u' +2u.
Agora transformamos o lado direito: como x=e^{t},
3x^{2}+2\ln x = 3e^{2t}+2t.
Portanto a equação transformada em t é uma equação linear com coeficientes constantes:
\boxed{u''-3u'+2u=3e^{2t}+2t.}

Passo 4

Vamos resolver a equação homogênea associada primeiro:
u''-3u'+2u=0.
Procuramos soluções da forma u=e^{rt}. Substituindo:
r^{2}-3r+2=0.
Essa é a equação característica; resolvendo:
r^{2}-3r+2=(r-1)(r-2)=0\quad\Rightarrow\quad r=1,\;2.
Como temos duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
u_{h}(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{2t},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora precisamos de uma solução particular u_{p}(t) da equação completa
u''-3u'+2u=3e^{2t}+2t.
Vamos encontrar uma solução particular como soma de duas partes, uma para cada termo do lado direito:
u_{p}=u_{p1}+u_{p2},
com u_{p1} resolvendo para 3e^{2t} e u_{p2} para 2t.
Começando por 3e^{2t}: normalmente tentaríamos A e^{2t}, mas como e^{2t} já é solução da homogênea (porque r=2 é raiz), há ressonância. Nesse caso multiplicamos por t e tentamos
u_{p1}=a\,t e^{2t},
onde a é constante a determinar. Calculamos derivadas:
u_{p1}'=a e^{2t}(1+2t),
u_{p1}''=a e^{2t}(4+4t)=4a e^{2t}(1+t).
Agora aplicamos o operador L[u]=u''-3u'+2u:
L[u_{p1}] =4a e^{2t}(1+t)-3\cdot a e^{2t}(1+2t)+2\cdot a t e^{2t}.
Agrupando termos em e^{2t} e em t e^{2t}:
  • Coeficiente de t e^{2t}: 4a -6a +2a =0.
  • Coeficiente de e^{2t} (sem t): 4a -3a = a.
    Logo
L[u_{p1}]=a e^{2t}.
Queremos L[u_{p1}]=3e^{2t}, portanto a=3. Assim
\boxed{u_{p1}=3t e^{2t}.}

Passo 6

Agora tratamos o termo polinomial 2t. Para um lado direito polinomial de grau 1, tentamos uma solução particular polinomial de grau 1:
u_{p2}=b t + c,
com b,c constantes. Calculamos
u_{p2}'=b,\qquad u_{p2}''=0.
Aplicando o operador:
L[u_{p2}]=0-3b+2(bt+c)=2bt + (2c-3b).
Queremos que isso seja igual a 2t. Igualando coeficientes do polinômio:
  • Coeficiente de t: 2b = 2 \Rightarrow b=1.
  • Termo constante: 2c-3b=0 \Rightarrow 2c-3=0 \Rightarrow c=\tfrac{3}{2}.
    Portanto
\boxed{u_{p2}=t+\tfrac{3}{2}.}

Passo 7

Somando as partes particulares:
u_{p}=u_{p1}+u_{p2}=3t e^{2t}+t+\tfrac{3}{2}.
A solução geral em t é a soma da homogênea com a particular:
u(t)=C_{1}e^{t}+C_{2}e^{2t}+3t e^{2t}+t+\tfrac{3}{2}.

Passo 8

Voltamos à variável original x. Lembrando que t=\ln x, e^{t}=x e e^{2t}=x^{2}. Substituindo:
y(x)=u(\ln x)=C_{1}x+C_{2}x^{2}+3(\ln x)\,x^{2}+\ln x+\tfrac{3}{2}.
Podemos escrever agrupando termos em \ln x se quisermos:
y(x)=C_{1}x+C_{2}x^{2}+(3x^{2}+1)\ln x+\tfrac{3}{2},
válida para x>0.

Resposta

y(x)=C_{1}x+C_{2}x^{2}+3x^{2}\ln x+\ln x+\tfrac{3}{2}

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