(e)
, onde
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
ao longo da curva
dada por
Informações fornecidas:
- A curva está parametrizada pelo parâmetro
no intervalo . - A função a integrar é
multiplicada por , o diferencial de comprimento de arco ao longo de .
Passo 2
Transformar a integral de linha em uma integral em
. Quando uma curva é parametrizada por
com posição
, o diferencial de comprimento de arco é
onde
é a derivada vetor da posição e
é a norma euclidiana. Essa fórmula vem da definição de comprimento de arco: um pequeno trecho de curva tem comprimento aproximado por
. Aplicando isso, a integral se torna
Passo 3
Calcular
e sua norma. A posição é
Derivando componente a componente:
A norma é
Usando
obtemos
Observação útil: a norma saiu constante (
), o que simplifica muito a integral.
Passo 4
Substituir
no integrando e simplificar. Temos
Usando a identidade trigonométrica
, isso fica
Passo 5
Montar a integral em
juntando o integrando e
:
Agora resta calcular
.
Passo 6
Calcular
por integração por partes. A fórmula de integração por partes é
Escolhe-se
(assim
) e
. Então
Aplicando partes:
Integrando
:
portanto
Agora avaliar de
a
:
- Em
: , , então a expressão vale . - Em
: , , expressão vale .
Logo
Passo 7
Voltar à integral original usando
. Temos
Pequeno comentário de incentivo: saiu uma integral bem elegante — a norma constante e a identidade trigonométrica fizeram quase toda a mágica. Boa!