(e) \int_{C} x y z d s, onde C: x=2 \operatorname{sen}(t), y=t, z=-2 \cos (t), 0 \leq t \leq \pi

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha \int_{C} x y z\, d s ao longo da curva C dada por
x=2\operatorname{sen}(t),\qquad y=t,\qquad z=-2\cos(t),\qquad 0\le t\le \pi.
Informações fornecidas:
  • A curva está parametrizada pelo parâmetro t no intervalo [0,\pi].
  • A função a integrar é x y z multiplicada por d s, o diferencial de comprimento de arco ao longo de C.

Passo 2

Transformar a integral de linha em uma integral em t. Quando uma curva é parametrizada por t com posição \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), o diferencial de comprimento de arco é
d s = \lVert \mathbf{r}'(t)\rVert\, dt,
onde \mathbf{r}'(t) é a derivada vetor da posição e \lVert\cdot\rVert é a norma euclidiana. Essa fórmula vem da definição de comprimento de arco: um pequeno trecho de curva tem comprimento aproximado por \sqrt{(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2}=\lVert \mathbf{r}'(t)\rVert\,dt. Aplicando isso, a integral se torna
\int_{C} x y z\, d s = \int_{t=0}^{t=\pi} \big(x(t)\,y(t)\,z(t)\big)\,\lVert \mathbf{r}'(t)\rVert\,dt.

Passo 3

Calcular \mathbf{r}'(t) e sua norma. A posição é
\mathbf{r}(t)=\big(2\operatorname{sen} t,\; t,\; -2\cos t\big).
Derivando componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=\big(2\cos t,\; 1,\; 2\operatorname{sen} t\big).
A norma é
\lVert \mathbf{r}'(t)\rVert = \sqrt{(2\cos t)^2 + 1^2 + (2\operatorname{sen} t)^2} = \sqrt{4\cos^2 t + 1 + 4\operatorname{sen}^2 t}.
Usando \cos^2 t+\operatorname{sen}^2 t=1 obtemos
\lVert \mathbf{r}'(t)\rVert = \sqrt{4\cdot 1 + 1} = \sqrt{5}.
Observação útil: a norma saiu constante ( \sqrt{5}), o que simplifica muito a integral.

Passo 4

Substituir x(t),y(t),z(t) no integrando e simplificar. Temos
x(t)\,y(t)\,z(t) = (2\operatorname{sen} t)\cdot t\cdot(-2\cos t) = -4t\,\operatorname{sen} t\cos t.
Usando a identidade trigonométrica \operatorname{sen} 2t = 2\operatorname{sen} t\cos t, isso fica
x(t)\,y(t)\,z(t) = -2t\,\operatorname{sen} 2t.

Passo 5

Montar a integral em t juntando o integrando e d s:
\int_{C} x y z\, d s = \int_{0}^{\pi} \big(-2t\,\operatorname{sen} 2t\big)\cdot \sqrt{5}\,dt = -2\sqrt{5}\int_{0}^{\pi} t\,\operatorname{sen} 2t\,dt.
Agora resta calcular I=\int_{0}^{\pi} t\,\operatorname{sen} 2t\,dt.

Passo 6

Calcular I=\int_{0}^{\pi} t\,\operatorname{sen} 2t\,dt por integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolhe-se u=t (assim du=dt) e dv=\operatorname{sen} 2t\,dt. Então
v=\int \operatorname{sen} 2t\,dt = -\frac{1}{2}\cos 2t.
Aplicando partes:
\int t\,\operatorname{sen} 2t\,dt = u v - \int v\,du = -\frac{t}{2}\cos 2t - \int \left(-\frac{1}{2}\cos 2t\right)dt = -\frac{t}{2}\cos 2t + \frac{1}{2}\int \cos 2t\,dt.
Integrando \cos 2t:
\int \cos 2t\,dt = \frac{1}{2}\operatorname{sen} 2t,
portanto
\int t\,\operatorname{sen} 2t\,dt = -\frac{t}{2}\cos 2t + \frac{1}{4}\operatorname{sen} 2t + C.
Agora avaliar de 0 a \pi:
  • Em t=\pi: \cos 2\pi = 1, \operatorname{sen} 2\pi = 0, então a expressão vale -\dfrac{\pi}{2}.
  • Em t=0: \cos 0 = 1, \operatorname{sen} 0 = 0, expressão vale 0.
    Logo
I=\int_{0}^{\pi} t\,\operatorname{sen} 2t\,dt = -\frac{\pi}{2} - 0 = -\frac{\pi}{2}.

Passo 7

Voltar à integral original usando I. Temos
\int_{C} x y z\, d s = -2\sqrt{5}\cdot I = -2\sqrt{5}\cdot\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \pi\sqrt{5}.
Pequeno comentário de incentivo: saiu uma integral bem elegante — a norma constante e a identidade trigonométrica fizeram quase toda a mágica. Boa!

Resposta

\pi\sqrt{5}

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