a lâmina do primeiro quadrante delimitada pelas hipérboles
e suponhamos que a densidade da lâmina seja constante
. Calcule o momento de inércia polar da lâmina D.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma lâmina no primeiro quadrante que está delimitada por quatro hipérboles: $ xy = 1 $, $ xy = 3 $, $ x^2 - y^2 = 1 $ e $ x^2 - y^2 = 4 $. A densidade dessa lâmina é constante e igual a 1, ou seja, $ \sigma = 1 $. Nosso objetivo aqui é calcular o momento de inércia polar dessa lâmina, que é uma medida de como a massa está distribuída em relação à origem.
Pra resolver isso, a gente vai precisar usar cálculo de integrais duplas para encontrar o momento de inércia. Vamos dividir a resolução em etapas para facilitar o entendimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia polar. Ele é dado pela fórmula:
Aqui, $ D $ é a região da lâmina, e $ dA $ é um elemento de área. Como a densidade $ \sigma = 1 $, a fórmula simplifica para essa expressão.
Passo 3
Agora, precisamos descrever a região $ D $ onde vamos integrar. Nossa região está no primeiro quadrante e é delimitada pelas hipérboles:
- $ xy = 1 $ e $ xy = 3 $ — essas são hipérboles que abrem nos quadrantes 1 e 3.
- $ x^2 - y^2 = 1 $ e $ x^2 - y^2 = 4 $ — essas são hipérboles que abrem nos quadrantes 1 e 2.
Para facilitar a integração, podemos mudar de coordenadas para coordenadas curvilíneas onde $ u = xy $ e $ v = x^2 - y^2 $.
Passo 4
Com essa mudança de variável, temos:
Precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para trocar a coordenada $ dA $.
Passo 5
Calculando as derivadas parciais:
$$
\frac{\partial (u, v)}{\partial (x, y)} =
= y(-2y) - x(2x) = -2y^2 - 2x^2 = -2(x^2 + y^2)
$$
O valor absoluto do jacobiano é $ |J| = 2(x^2 + y^2) $.
Passo 6
Expressamos $ x^2 + y^2 $ em termos de $ u $ e $ v $. Da definição de $ u $ e $ v $:
Mas isso não simplifica diretamente. Em vez disso, vamos usar a relação:
Somando as duas equações:
Mas essa abordagem complica, então vamos manter $ x^2 + y^2 $ como está e seguir com a integração.
Passo 7
Expressamos a integral em termos de $ u $ e $ v $:
O jacobiano cancela, ficando:
Passo 8
Agora, precisamos identificar os limites de integração na nova coordenada:
Então, a integral fica:
Passo 9
Calculando a integral interna em relação a $ v $:
Agora, a integral externa:
Resposta
O momento de inércia polar da lâmina $ D $ é $ J = 6 $.