D a lâmina do primeiro quadrante delimitada pelas hipérboles x y=1, x y=3, x^2-y^2=1 e x^2-y^2=4 e suponhamos que a densidade da lâmina seja constante sigma equiv 1. Calcule o momento de inércia polar da lâmina D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma lâmina no primeiro quadrante que está delimitada por quatro hipérboles: $ xy = 1 $, $ xy = 3 $, $ x^2 - y^2 = 1 $ e $ x^2 - y^2 = 4 $. A densidade dessa lâmina é constante e igual a 1, ou seja, $ \sigma = 1 $. Nosso objetivo aqui é calcular o momento de inércia polar dessa lâmina, que é uma medida de como a massa está distribuída em relação à origem.
Pra resolver isso, a gente vai precisar usar cálculo de integrais duplas para encontrar o momento de inércia. Vamos dividir a resolução em etapas para facilitar o entendimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia polar. Ele é dado pela fórmula:
J = integral duplaD (x^2 + y^2) , dA
Aqui, $ D $ é a região da lâmina, e $ dA $ é um elemento de área. Como a densidade $ \sigma = 1 $, a fórmula simplifica para essa expressão.

Passo 3

Agora, precisamos descrever a região $ D $ onde vamos integrar. Nossa região está no primeiro quadrante e é delimitada pelas hipérboles:
  1. $ xy = 1 $ e $ xy = 3 $ — essas são hipérboles que abrem nos quadrantes 1 e 3.
  2. $ x^2 - y^2 = 1 $ e $ x^2 - y^2 = 4 $ — essas são hipérboles que abrem nos quadrantes 1 e 2.
Para facilitar a integração, podemos mudar de coordenadas para coordenadas curvilíneas onde $ u = xy $ e $ v = x^2 - y^2 $.

Passo 4

Com essa mudança de variável, temos:
u = xy v = x^2 - y^2
Precisamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação para trocar a coordenada $ dA $.

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:

$$
\frac{\partial (u, v)}{\partial (x, y)} =
partial (u, v)partial (x, y) = partial upartial x & partial upartial y partial vpartial x & partial vpartial y = y & x 2x & -2y = y(-2y) - x(2x) = -2y^2 - 2x^2 = -2(x^2 + y^2)

|J| = 2(x^2 + y^2)
= y(-2y) - x(2x) = -2y^2 - 2x^2 = -2(x^2 + y^2)
$$
O valor absoluto do jacobiano é $ |J| = 2(x^2 + y^2) $.

Passo 6

Expressamos $ x^2 + y^2 $ em termos de $ u $ e $ v $. Da definição de $ u $ e $ v $:
x^2 + y^2
Mas isso não simplifica diretamente. Em vez disso, vamos usar a relação:
u
Somando as duas equações:
v
Mas essa abordagem complica, então vamos manter $ x^2 + y^2 $ como está e seguir com a integração.

Passo 7

Expressamos a integral em termos de $ u $ e $ v $:
u
O jacobiano cancela, ficando:
v

Passo 8

Agora, precisamos identificar os limites de integração na nova coordenada:
u varia de 1 a 3 v varia de 1 a 4
Então, a integral fica:
J = integralu=1^3 integralv=1^4 1 , dv , du

Passo 9

Calculando a integral interna em relação a $ v $:
v
Agora, a integral externa:
integralv=1^4 1 , dv = 4 - 1 = 3

Resposta

O momento de inércia polar da lâmina $ D $ é $ J = 6 $.

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