(d) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x-\frac{x{2}}{2}-\frac{x{3}}{6}}{x^{3}}

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular o limite limxto 0 ln(1+x)-x-tfracx^22-tfracx^36x^3. O conteúdo principal é a expansão em série de Taylor da função ln(1+x) em torno de x=0. Precisamos dos primeiros termos dessa série para simplificar o numerador e, em seguida, dividir por x^3.

Passo 2

Recordando a série de Taylor de ln(1+x) em torno de x=0:
ln(1+x)=x-tfracx^22+tfracx^33-tfracx^44+cdots

Passo 3

Substituindo na expressão do numerador temos:

Passo 4

Dividindo por x^3 e analisando o comportamento quando xto0:
tfracx^36-tfracx^44+cdotsx^3=tfrac16-tfracx4+cdots
Logo, ao fazer xto0, o limite vale 1/6.

Resposta

tfrac16

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