(l) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (x)}{x}

Passo 1

A questão pede para calcular limxto0tan(x)x. O conteúdo é limites envolvendo funções trigonométricas e vamos precisar da definição de tan(x) em termos de sin(x) e cos(x), além do limite fundamental limxto0sin(x)x=1.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos tan(x) como sin(x)cos(x) e manipulamos a expressão:
tan(x)x=sin(x)cos(x)cdot1x=sin(x)xcdot1cos(x)

Passo 3

Como o produto de limites é o limite do produto (quando ambos existem), temos:
limxto0tan(x)x=limxto0sin(x)xcdotlimxto01cos(x)

Passo 4

Sabemos que limxto0sin(x)x=1 e limxto01cos(x)=1cos(0)=1. Portanto, multiplicando esses resultados, obtemos o valor do limite.

Resposta

1

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