© $\lim _{x \rightarrow 0{+}}\left(1+\frac{1}{x}\right){x}

Passo 1

Temos que calcular o limite limxto0^+l(1+tfrac1xr)^x. Esse é um limite onde a base 1+1/x tende a +infty e o expoente x tende a 0, então vamos usar a técnica de logaritmo para transformar em uma forma do tipo e^lim(cdot).

Passo 2

Definimos y=l(1+tfrac1xr)^x. Assim, tomando o logaritmo natural, temos ln y = xlnl(1+tfrac1xr). Nosso plano é calcular limxto0^+ln y e depois voltar para y.

Passo 3

Para simplificar ln y, fazemos a mudança de variável t=1/x. Quando xto0^+, então tto+infty e x=1/t. Substituindo, obtemos:
ln y = 1t,ln(1+t)
Agora analisamos o limite dessa expressão: como ln(1+t) cresce muito mais devagar que t, temos
limtto+inftyln(1+t)t=0,
então limxto0^+ln y=0.

Passo 4

Finalmente, voltando para y, usamos que y= e^ln y. Assim,

Portanto, o limite pedido é 1.

Resposta

1

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