(d) É possível que o autoespaço associado a algum dos autovalores de T tenha dimensão 2.

Passo 1

O enunciado pergunta se, para um operador linear T num espaço vetorial de dimensão 3 (por exemplo P2 ou R^3), é possível que o autoespaço ligado a algum autovalor tenha dimensão igual a 2. O que vamos usar é a relação entre multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica de um autovalor.

Passo 2

Pela teoria de autovalores e autovetores temos sempre, para cada autovalor lambda:
dim Elambda ;=; mg(lambda) ;<=; ma(lambda),
onde mg(lambda) é a multiplicidade geométrica (dimensão do autoespaço) e ma(lambda) é a multiplicidade algébrica (ordem do fator lambda-lambdai no polinômio característico). Além disso a soma das multiplicidades algébricas de todos os autovalores é igual à dimensão do espaço, que aqui é 3.

Passo 3

Para ter um autoespaço de dimensão 2 basta que algum autovalor lambda apareça com multiplicidade algébrica pelo menos 2. Por exemplo, num operador em R^3 dado por
T = 2 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 ,
o polinômio característico é (2-lambda)^2(3-lambda), logo ma(2)=2. E de fato o autoespaço de lambda=2 é
E2 = (x,y,0)mid x,yinR,
que tem dimensão 2.

Resposta

Sim, é possível que o autoespaço de algum autovalor tenha dimensão 2, desde que esse autovalor tenha multiplicidade algébrica >=2.

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