(d) É possível que o autoespaço associado a algum dos autovalores de tenha dimensão 2.
Passo 1
O enunciado pergunta se, para um operador linear num espaço vetorial de dimensão (por exemplo ou ), é possível que o autoespaço ligado a algum autovalor tenha dimensão igual a . O que vamos usar é a relação entre multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica de um autovalor.
Passo 2
Pela teoria de autovalores e autovetores temos sempre, para cada autovalor :
onde é a multiplicidade geométrica (dimensão do autoespaço) e é a multiplicidade algébrica (ordem do fator no polinômio característico). Além disso a soma das multiplicidades algébricas de todos os autovalores é igual à dimensão do espaço, que aqui é .
Passo 3
Para ter um autoespaço de dimensão basta que algum autovalor apareça com multiplicidade algébrica pelo menos . Por exemplo, num operador em dado por
o polinômio característico é (2-lambda)^2(3-lambda), logo ma(2)=2. E de fato o autoespaço de lambda=2 é
E2 = (x,y,0)mid x,yinR,
que tem dimensão 2.
Resposta
Sim, é possível que o autoespaço de algum autovalor tenha dimensão 2, desde que esse autovalor tenha multiplicidade algébrica >=2.