Sejam a e b constantes reais e T: R^3 R^3 um operador linear definido por
T(x, y, z)=(x, a y+raiz22 z, b y+raiz22 z)
Para que valores de a e b encontrados no item (a), o operador T é diagonalizável?

Passo 1

O operador linear T:R^3toR^3 está dado por
T(x,y,z)=l(x,;a,y+tfracraiz22,z,;b,y+tfracraiz22,zr)
Queremos decidir para quais valores reais de a e b o operador T é diagonalizável sobre R. Para isso vamos (i) encontrar os autovalores de T e (ii) usar o critério de diagonalização em termos de multiplicidades algébrica e geométrica.

Passo 2

Note que, pela fórmula de T, a primeira componente só envolve x. Logo
T(1,0,0)=(1,0,0),
de onde um autovalor é
lambda1=1
Resta achar os autovalores vindos da sub-restrição de T ao subespaço gerado por (0,1,0),(0,0,1).

Passo 3

Na base (0,1,0),(0,0,1), a ação de T restringida ao plano yz é representada pela matriz
M= a & tfracraiz22[6pt] b & tfracraiz22
Se lambda é autovalor de M, vale
detl(M-lambda I2r) =det a-lambda & tfracraiz22[4pt] b & tfracraiz22-lambda =0
Expansão em menores dá o polinômio característico
lambda^2-(a+tfracraiz22),lambda +l(acdottfracraiz22-bcdottfracraiz22r)=0
]

Passo 4

O discriminante desse polinômio é
De<a =(a+tfracraiz22)^2 -4l(tfracraiz22(a-b)r) =(a-tfracraiz22)^2+4,b;tfracraiz22 =(a-tfracraiz22)^2+2raiz2,b
Logo os dois autovalores vindos de M são
lambda2,3 =a+tfracraiz22pmraizDe<a2

Passo 5

Um operador real em R^3 é diagonalizável sobre R se e somente se seus três autovalores forem reais e, para cada autovalor, a dimensão do espaço próprio (geométrica) igualar sua multiplicidade algébrica.
1. Se De<a<0, os autovalores lambda2,3 são complexos conjugados e T não é diagonalizável em R.
2. Se De<a=0, há autovalor duplo em lambda2=lambda3, mas a matriz M não se reduz à múltiplo da identidade (pois tfracraiz22neq0), logo falta dimensão de espaço próprio e T não é diagonalizável.
3. Se De<a>0, então lambda2 e lambda3 são reais e distintos, além de distintos de lambda1=1 exceto em casos isolados que igualmente fornecem multiplicidade geométrica suficiente. Assim obtemos três autovetores independentes e T é diagonalizável.
Portanto a condição para diagonalização é
De<a>0 Long<=ftrightarrow (a-tfracraiz22)^2+2raiz2,b>0

Resposta

O operador T é diagonalizável sobre R se, e somente se,
(a-tfracraiz22)^2+2raiz2,b>0,
ou seja,
b>-(a-tfracraiz22)^22raiz2

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