Sejam e constantes reais e um operador linear definido por
Para que valores de e encontrados no item (a), o operador é diagonalizável?
Passo 1
O operador linear está dado por
Queremos decidir para quais valores reais de e o operador é diagonalizável sobre . Para isso vamos (i) encontrar os autovalores de e (ii) usar o critério de diagonalização em termos de multiplicidades algébrica e geométrica.
Passo 2
Note que, pela fórmula de , a primeira componente só envolve . Logo
de onde um autovalor é
Resta achar os autovalores vindos da sub-restrição de ao subespaço gerado por .
Passo 3
Na base , a ação de restringida ao plano é representada pela matriz
Se lambda é autovalor de M, vale
detl(M-lambda I2r) =det a-lambda & tfracraiz22[4pt] b & tfracraiz22-lambda =0
Um operador real em R^3 é diagonalizável sobre R se e somente se seus três autovalores forem reais e, para cada autovalor, a dimensão do espaço próprio (geométrica) igualar sua multiplicidade algébrica.
1. Se De<a<0, os autovalores lambda2,3 são complexos conjugados e Tnão é diagonalizável em R. 2. Se De<a=0, há autovalor duplo em lambda2=lambda3, mas a matriz M não se reduz à múltiplo da identidade (pois tfracraiz22neq0), logo falta dimensão de espaço próprio e Tnão é diagonalizável. 3. Se De<a>0, então lambda2 e lambda3 são reais e distintos, além de distintos de lambda1=1 exceto em casos isolados que igualmente fornecem multiplicidade geométrica suficiente. Assim obtemos três autovetores independentes e T é diagonalizável.