Sejam a e b constantes reais e T: R^3 R^3 um operador linear definido por
T(x, y, z)=(x, a y+raiz22 z, b y+raiz22 z)
Para que valores de a e b o operador T é um operador ortogonal?

Passo 1

O enunciado define um operador linear T:R^3toR^3 por
T(x,y,z)=l(x,;a,y+tfracraiz22z,;b,y+tfracraiz22zr),
e pede para quais a,binR ele é ortogonal. O conteúdo usado será matriz de T na base canônica e a condição de ortogonalidade ;M^T M=I, ou equivalentemente colunas de M formam uma base ortonormal.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T na base canônica:
M = 1 & 0 & 0 0 & a & tfracraiz22 0 & b & tfracraiz22
Suas colunas são
c1=(1,0,0), c2=(0,a,b), c3=l(0,tfracraiz22,tfracraiz22r)

Passo 3

Para M ser ortogonal, as colunas devem ser mutuamente ortogonais, isto é cicdot cj=0 para ineq j. Já vimos que
c1cdot c2=0, c1cdot c3=0
automaticamente. Falta
c2cdot c3 = 0Longrightarrow acdottfracraiz22+bcdottfracraiz22=0 Longrightarrow a+b=0

Passo 4

Além da ortogonalidade mútua, cada coluna deve ter norma 1. Verificamos
|c3|^2=l(tfracraiz22r)^2+l(tfracraiz22r)^2=1,
e impomos em c2:
|c2|^2 = a^2 + b^2 = 1

Passo 5

Do sistema
a + b = 0, a^2 + b^2 = 1,
temos b=-a, logo a^2+(-a)^2=2a^2=1, daí
a^2 = tfrac12, a=pmtfrac1raiz2, b=-a

Resposta

(a,b)=l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r) ou (a,b)=l(-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r).

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