Seja W o subespaço de R^3 gerado pelo vetor v=(1,-1,1).
Determine a transformação linear T: R^3 R^3 tal que
N(T)=W^perp e Im(T)=W

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear T:R^3toR^3 tal que
  • o núcleo de T seja W^perp,
  • a imagem de T seja W,
onde
W=spanv, v=(1,-1,1)
Para resolver, vamos caracterizar W^perp e depois construir T como T(x)=f(x),u, onde f anula exatamente W^perp e u gera W.

Passo 2

Caracterizamos
W^perp=xinR^3midlang<= x,vrang<==0
Como v=(1,-1,1), temos
lang<= x,vrang<= = x1 - x2 + x3
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W^perp = (x1,x2,x3)mid x1 - x2 + x3 = 0

Passo 3

Escolhemos a aplicação linear
f:R^3toR, f(x)=lang<= x,vrang<= = x1 - x2 + x3,
cujo núcleo é exatamente W^perp. Como queremos Im(T)=W, tomamos
u=v=(1,-1,1)
e definimos
T(x)=f(x),u
Então T satisfaz
  • T(x)=0 se e somente se f(x)=0, ou seja xin W^perp,
  • a imagem de T é spanu=W.

Resposta

T(x1,x2,x3) = (x1 - x2 + x3),(1,-1,1)

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