d) Qual é a principal vantagem da quadratura gaussiana em relação aos métodos de Newton-Cotes quando se utiliza o mesmo número de avaliações de função?

Passo 1

Você pergunta: “Qual é a principal vantagem da quadratura gaussiana em relação aos métodos de Newton–Cotes quando se utiliza o mesmo número de avaliações de função?”\n
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Estamos comparando dois tipos de regras de quadratura numérica: quadratura gaussiana e métodos de Newton–Cotes.
  • A comparação deve ser feita considerando o mesmo número de avaliações da função (mesmo número de nós/leituras de f).
  • O objetivo é identificar a principal vantagem da quadratura gaussiana sob essa restrição.

Passo 2

Primeiro, explico dois conceitos fundamentais de forma bem preguiçosamente didática, como se estivéssemos estudando num café:
  • O que é uma regra de quadratura: é uma fórmula que aproxima a integral \int_a^b f(x)\,dx por uma soma do tipo \sum_{i=1}^{n} w_i\,f(x_i), onde \{x_i\} são os nós (pontos onde avaliamos f) e \{w_i\} são os pesos.
  • O que significa “grau de exatidão” (ou precisão algébrica): é o maior inteiro m tal que a regra integra exatamente todo polinômio de grau \le m. Ou seja, se uma regra tem grau de exatidão m, então para qualquer polinômio p com \deg p\le m vale \int_a^b p(x)\,dx = \sum_{i=1}^n w_i p(x_i). Isso é uma medida direta de quão boa a regra é, pelo menos para funções bem aproximadas por polinômios.

Passo 3

Agora descrevo, sem pular etapas, como funcionam as duas famílias de regras:
  • Newton–Cotes (fechadas) pega nós igualmente espaçados em [a,b]. Se usamos n avaliações de f (ou seja, n nós), a regra de Newton–Cotes consegue integrar exatamente todos os polinômios até grau n-1. A razão prática: os pesos são escolhidos para que a fórmula acerte os n monômios 1,x,x^2,\dots,x^{n-1} (temos n equações para n pesos).
  • Quadratura Gaussiana (por exemplo, Gauss–Legendre no caso de peso 1 em [a,b]) não exige nós igualmente espaçados: ela escolhe os n nós e os n pesos de forma ótima. Com esses 2n parâmetros (nós + pesos) a quadratura gaussiana consegue fazer a igualdade para os 2n monômios 1,x,\dots,x^{2n-1}. Ou seja, a quadratura gaussiana com n nós integra exatamente todos os polinômios de grau até 2n-1.

Passo 4

Por que isso acontece (intuição técnica, não só afirmativa)?
  • Em Newton–Cotes, os nós estão fixos (iguais), só ajustamos os pesos. Então só conseguimos forçar exatidão para tantos monômios quantos são os pesos (em geral n), resultando em grau de exatidão até n-1.
  • Em Gauss, nós e pesos são livremente escolhidos. Temos 2n incógnitas (os n nós e os n pesos). Podemos impor que a regra seja exata para 2n monômios independentes: 1,x,\dots,x^{2n-1}. Uma construção formal usa ortogonalidade e polinômios ortogonais (as raízes do polinômio ortogonal de grau n fornecem os nós), mas a ideia fácil de lembrar é: liberdade nos nós dobra a ordem polinomial que podemos acertar.

Passo 5

Compare de forma direta, com um exemplo numérico simples pra sentir o ganho:
  • Com n avaliações:
    • Newton–Cotes: grau de exatidão \le n-1.
    • Gauss: grau de exatidão = 2n-1.
  • Exemplo concreto: se n=2 avaliações, Newton–Cotes (a regra dos trapézios com 2 nós) é exata só até grau 1, enquanto a quadratura de Gauss com 2 pontos é exata até grau 3. Isso significa que, para funções que se comportam “como polinômios” de grau relativamente baixo (ou que são suaves), a Gauss com o mesmo número de avaliações normalmente dará um erro muito menor.

Passo 6

Outros pontos práticos (para não esconder as desvantagens, mas sem perder o foco):
  • A grande vantagem prática da Gauss é, portanto, eficiência por avaliação: mais precisão usando o mesmo número de avaliações de f.
  • Há um custo: os nós da quadratura gaussiana não são igualmente espaçados e precisam ser calculados (são raízes de polinômios ortogonais), o que exige um pouco mais de trabalho numérico. Mas em muitos casos isso compensa porque cada avaliação de f costuma ser custosa.
  • Newton–Cotes de alta ordem pode ter pesos negativos e ficar instável (os erros crescem), enquanto Gauss–Legendre tem pesos positivos e é numericamente mais estável.

Passo 7

Resumo didático e motivacional (tipo amigo te explicando no fim da revisão):
  • Pense assim: com o mesmo número de pontos para avaliar f, a quadratura gaussiana “aproveita melhor” cada avaliação porque escolhe os pontos inteligentemente. Isso a torna muito mais precisa para funções suaves. Então, se você tem poucas avaliações disponíveis (por exemplo, cada avaliação demora ou é cara), sempre que puder, use Gauss — vale a pena aprender a achar aqueles nós especiais.\n
    Tamo junto, você já tá entendendo a ideia central; agora, na prova, se perguntar “por que Gauss é melhor com o mesmo número de pontos?” responda: porque tem grau de exatidão muito maior.

Resposta

A quadratura gaussiana, com n avaliações, tem grau de exatidão 2n-1 enquanto uma regra de Newton–Cotes com n avaliações (nós) é exata apenas até grau n-1; portanto, com o mesmo número de avaliações a quadratura gaussiana geralmente fornece muito mais precisão (erro muito menor) porque escolhe nós e pesos de forma ótima.

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